📂동역학

1차원 맵의 싱크와 소스 판정법

정리¹

스무스한 맵 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 에 대해 어떤 $p \in \mathbb{R}$ 가 고정점이라고 하자.

• [1] $| f ' (p) | < 1$ 이면 $p$ 는 싱크다.
• [2] $| f ' (p) | > 1$ 이면 $p$ 는 소스다.

예시

$1$차원 맵의 예로써 $f(x) = x^3$ 을 생각해보면 $f ' (x) = 3x^{2}$ 이므로 고정점 $f(0) = 0$ 은 싱크, $f(1) = 1$ 은 소스임을 쉽게 확인할 수 있다.

증명

정리 [1]의 증명

$a \in \left( | f '(p) | , 1 \right)$ 이라고 하자.

$$\lim_{x \to p} {{ | f(x) - f(p) | } \over { | x - p | }} = | f ' (p) |$$

이므로, 모든 $x \in N_{\epsilon } ( p)$ 에 대해

$${{ | f(x) - f(p) | } \over { | x - p | }} < a$$

인 $\epsilon > 0$ 이 존재해야한다. 다시 말해 $| f(x) - p | < a | x - p |$ 인데, $a < 1$ 이므로 $x$ 에 $f$ 를 취할때마다 $p$ 에 가까워지는 것이다. 즉 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\left| f^{k} (x) - p \right| \le a^{k} | x - p |$ 이므로, $p$ 는 싱크여야한다

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정리 [2]의 증명

$a \in \left( 1, | f '(p) | \right)$ 이라 하자.

$$\lim_{x \to p} {{ | f(x) - f(p) | } \over { | x - p | }} = | f ' (p) |$$

이므로, 모든 $x \in N_{\epsilon } ( p)$ 에 대해

$${{ | f(x) - f(p) | } \over { | x - p | }} > a$$

인 $\epsilon > 0$ 이 존재해야한다. 다시 말해 $| f(x) - p | > a | x - p |$ 인데, $a > 1$ 이므로 $x$ 에 $f$ 를 취할때마다 $p$ 에서 멀어지는 것이다. 즉 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\left| f^{k} (x) - p \right| \ge a^{k} | x - p |$ 이므로, $p$ 는 소스여야한다.

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