생일 문제: 생일이 같을 확률
공식
윤년을 무시하고 $1$년을 $365$일이라 하자. $n$명의 사람이 모여있을 때, 생일이 겹치는 사람이 있을 확률은 다음과 같다.
$$ p(n) = 1 - \dfrac{365!}{365^n(365-n)!} $$
설명
필자의 중학교 시절, 수학책의 어느 단원(아마 높은 확률로 순열과 조합)의 마지막에 "더 알아보기" 내지는 "심화 내용"으로 위 공식이 소개돼있었던 기억이 난다. 각자의 생일은 $365$개 중에 하나이므로, 생일이 겹치는 사람이 있으려면 직관적으로는 꽤 많이 모여야할 것 같은데, 사실은 그렇지 않은게 신기했었다. 실제로 선생님과 함께 우리 반 모두의 생일을 조사해보았는데, 약 $35$명 정도의 인원이었음에도 생일이 겹치는 짝이 두 경우나 있어 책이 거짓말(?)한 게 아니라는 것도 확인할 수 있었다. 물론 아래의 표를 보면 $35$명은 생일이 겹치기에 충분한 인원이라는 것을 알 수 있다.
아래의 표는 공식을 통해 실제 확률을 계산한 것이다. 처음에는 확률이 엄청 작아보이지만, $23$명만 모여도 생일이 겹치는 사람이 있을 확률이 절반이 넘어가고, $41$명이 모이면 누군가가 생일이 겹칠 확률이 $90\%$를 넘게된다.
| $n$ | $p(n)$ | $n$ | $p(n)$ |
|---|---|---|---|
| $2$ | $00.27 \%$ | $15$ | $25.29 \%$ |
| $3$ | $00.82 \%$ | $20$ | $41.14 \%$ |
| $4$ | $01.64 \%$ | $23$ | $50.73 \%$ |
| $5$ | $02.71 \%$ | $25$ | $56.87 \%$ |
| $6$ | $04.05 \%$ | $30$ | $70.63 \%$ |
| $7$ | $05.62 \%$ | $35$ | $81.44 \%$ |
| $8$ | $07.43 \%$ | $40$ | $89.12 \%$ |
| $9$ | $09.46 \%$ | $41$ | $90.32 \%$ |
| $10$ | $11.70 \%$ |
유도
$n$명이 모여있을 때 생일이 겹치는 사람이 존재할 확률 $p(n)$은, 모든 사람의 생일이 서로 다를 확률 $\tilde{p}(n)$으로 나타낼 수 있다.
$$ p(n) = 1 - \tilde{p}(n) $$
우선 두 명이 있다고 해보자. 이 둘의 생일이 서로 다르려면, 두번째 사람이 첫번째 사람의 생일과 다르기만 하면 된다. 즉 $365$일 중 첫번째 사람의 생일을 제외한 $364$일 중 하루가 두번째 사람의 생일이면 된다.
$$ \tilde{p}(2) = \dfrac{364}{365} $$
세 사람이 모두 다른 생일을 가지려면, 위의 경우에서 세번째 사람이 첫번째 사람, 두번째 사람의 생일과 다르면 된다. 세번째 사람의 생일은 남은 $363$일 중에서 하루이면 되므로, 세 명 모두의 생일이 다를 확률은,
$$ \tilde{p}(3) = \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} $$
같은 방식으로 네 사람의 생일이 모두 다를 확률은,
$$ \tilde{p}(4) = \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \dfrac{362}{365} $$
$n$명의 생일이 모두 다를 확률은 아래와 같다.
$$ \tilde{p}(n) = \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \dfrac{362}{365} \times \cdots \times \dfrac{365-(n-1)}{365} $$
따라서 $n$명이 모여있을 때 생일이 겹치는 사람이 있을 확률은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} p(n) &= 1 - \tilde{p}(n) \\[1em] &= 1 - \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \cdots \times \dfrac{365-(n-1)}{365} \\[1em] &= 1 - \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \cdots \times \dfrac{365-(n-1)}{365} \times \dfrac{365-n}{365-n} \times \cdots \times \dfrac{2}{2} \times \dfrac{1}{1} \\[1em] &= 1 - \dfrac{364!}{365^{n-1}(365-n)!} \\[1em] &= 1 - \dfrac{365!}{365^n(365-n)!} \end{align*} $$
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