📂편미분방정식

라플라스 방정식과 푸아송 방정식

정의¹

• $\ U \in \mathbb{R}^n$는 열린 집합
• $\ x\in U$
• $u=u(x) : \overline{U} \rightarrow \mathbb{R}^n$

라플라스 방정식

아래의 편미분방정식을 라플라스 방정식^{Laplace’s equation}이라 한다.

$$\Delta u=0$$

이때 $\Delta$는 라플라시안이다. 라플라스 방정식을 만족하는 $u$를 특별히 조화함수^{harmonic function}라고 한다.

푸아송 방정식

비동차 라플라스 방정식을 푸아송 방정식^{Poisson’s equation}이라 한다.

$$-\Delta u = f$$

설명

라플라스 방정식은 물리학의 다양한 곳에서 등장한다. 보통의 경우 $u$는 평형상태^equilibrium에서 어떤 물리량의 밀도^density를 의미한다. 평형상태에서는 $V \subset U$라고 할 때 아래의 식이 성립한다.

$$\int_{\partial V}\mathbf{F} \cdot \boldsymbol{\nu}dS=0$$

$\mathbf{F}$는 $u$의 선속밀도^{fulx density}, $\boldsymbol{\nu}$는 외향단위법선벡터이다.

위 식의 의미는 $u$의 알짜 선속^{net flux}이 $0$이라는 것이다. 예를 들어 열평형을 이룬 어떤 공간이 있다고 하자. 그럼 그 공간 밖에서 안으로 들어오는 열도 없고, 안에서 밖으로 나가는 열도 없다. 즉, 그 공간의 경계면에서 열의 흐름이 없다는 것이다. 이 말은 알짜 선속이 $0$이라는 말과 같은 말이다. 여기에 그린-가우스 정리를 적용하면 다음의 식을 얻는다.

$$0 = \int_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \nu dS=\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} dx \\ \implies \nabla \cdot \mathbf{F}=0$$

여기서 $\mathbf{F}$가 $u$의 그래디언트 $Du$에 비례하는 값이라고 하자. 이때 많은 경우에서 물리적인 이유 때문에 반대방향으로 가정하는 것이 편리하다. 열역학 제2법칙(열은 항상 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐른다)을 예로 들 수 있다.

$$\begin{equation} \mathbf{F}=-aDu \label{eq1} \end{equation}$$

이때 $a>0$이다.

만약 $u$가 화학 물질의 농도, 온도, 정전기 퍼텐셜을 의미한다면, $\eqref{eq1}$은 각각 픽의 확산 법칙^{Fick’s law of diffusion}, 푸리에의 열전도 법칙^{Fourier’s law of heat conduction}, 옴의 법칙^{Ohm’s law of electrical conduction}을 의미한다.

위의 내용으로부터 라플라스 방정식을 얻는다.

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \nabla \cdot (-aDu)=-a\Delta u=0 \\ \implies \Delta u = 0$$