헤세 행렬이란
📂다변수벡터해석 헤세 행렬이란 정의 D ⊂ R n D \subset \mathbb{R}^{n} D ⊂ R n 에서 정의된 다변수 스칼라 함수 f : D → R f : D \to \mathbb{R} f : D → R 에 대해 다음과 같은 행렬 H ∈ R n × n H \in \mathbb{R}^{n \times n} H ∈ R n × n 을 f f f 의 헤세 행렬 이라 한다.
H : = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ⋯ ∂ 2 f m ∂ x n 2 ]
H := \begin{bmatrix}
{{\partial^2 f } \over {\partial x_{1}^2 }} & \cdots & {{\partial^2 f } \over { \partial x_{1} \partial x_{n} }}
\\ \vdots & \ddots & \vdots
\\ {{\partial^2 f } \over {\partial x_{n} \partial x_{1} }} & \cdots & {{\partial^2 f_{m} } \over {\partial x_{n}^2 }}
\end{bmatrix}
H := ∂ x 1 2 ∂ 2 f ⋮ ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ⋯ ⋱ ⋯ ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ⋮ ∂ x n 2 ∂ 2 f m
설명 f f f 의 헤시안에 대해서 다음과 같은 표기들이 쓰인다.
H , H ( f ) , H f , H , ∇ 2 f
H,\quad H(f),\quad H_{f},\quad \mathbf{H},\quad \nabla^{2}f
H , H ( f ) , H f , H , ∇ 2 f
이때 ∇ 2 \nabla^{2} ∇ 2 는 라플라시안 으로도 흔히 쓰이는 표기법이니 주의하자.
야코비 행렬 이 함수의 고차원적인 도함수에 해당한다면, 헤세 행렬은 고차원적인 이계도함수라고 볼 수 있다. 물론 야코비 행렬만큼 빈번하게 보이지는 않지만 수리 통계학처럼 뜬금없는 곳에 간혹 등장하곤 한다. 또 헤세 행렬은 스칼라 함수 에 대해서만 정의된다는 점에 주의해야한다.