푸리에 계수의 극한은 0이다
📂푸리에해석푸리에 계수의 극한은 0이다
정리
푸리에 계수 an,bn와 복소 푸리에 계수 c±n은 n→∞인 극한
n→∞limann→∞limbnn→∞limc±n=0=0=0
증명
베셀 부등식에 의해 푸리에 계수의 합이 수렴함을 알고 있다.
41∣a0∣2+21n=1∑∞(∣an∣2+∣bn∣2)=−∞∑∞∣cn∣2≤2L1∫−LL∣f(t)∣2dt
따라서 ∣an∣2, ∣bn∣2, ∣c±n∣2은 수렴하는 급수의 n번째 항이다.급수가 수렴하면 수열의 극한은 0 이므로
n→∞lim∣an∣2=0
n→∞lim∣bn∣2=0
n→∞lim∣c±n∣2=0
따라서
n→∞liman=0
n→∞limbn=0
n→∞limc±n=0
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