함수값의 평균
정의
구간 $[a,\ b]$에서 $f(x)$의 평균값은 구간에 대해서 적분한 다음 구간의 길이로 나눠준 것과 같다.
$$ \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^bf(x)dx $$
유도
구간 $[a,\ b]$의 분할을 $P$라고 하자.
$$ P=\left\{ x_{1},\ x_{2},\ \cdots ,\ x_{n} \right\} $$
이때, $a=x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}=b$이고 각 점의 사이의 거리는 같다. 그리고 $\Delta x=x_{i+1}-x_{i}$. $f(x_{i})$의 합을 $n$으로 나눠서 $f(x)$의 평균값을 어림하려고 한다.
$$ \dfrac{ f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) } {n} $$
이는 $n$이 커질수록 함숫값들의 평균에 점점 가까워질 것이다. 분자와 분모에 $\Delta x$를 곱하면 아래와 같다.
$$ \dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) \Big)\Delta x} {n \Delta x} $$
$n\Delta x=b-a$이므로 다음과 같다.
$$ \dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) \Big)\Delta x} {b-a} $$
$n \rightarrow \infty$이고 $\Delta x \rightarrow 0$인 극한을 취하면 분자는 $\int_{a}^bf(x)dx$와 같다.
$$ \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^bf(x)dx $$
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예제
삼각함수의 한 주기 평균은 $0$이다.
코사인 함수
$\cos (kx)$의 한주기 평균을 구해보면 다음과 같다. $$ \int_{0}^\frac{2\pi}{k} \cos(kx)dx = \dfrac{1}{k}\left[ \sin(kx)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{1}{k}(\sin 2\pi -\sin 0 ) =0 $$
사인 함수
$\sin (kx)$의 한주기 평균을 구해보면 다음과 같다. $$ \int_{0}^\frac{2\pi}{k} \sin(kx)dx = \dfrac{-1}{k}\left[ \cos(kx)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{-1}{k}(\cos 2\pi -\cos 0 ) =0 $$