카오스 이론에서 맵들의 컨쥬게이트

개요

카오스 이론에서 맵의 컨쥬게이트는 일종의 아이소메트리, 아이소멀피즘과 비슷하며, 사실 더 일반적인 동역학의 맥락에서는 호메오멀피즘 그 자체다.

¹ 교재에 따라 완전히 같지는 않을 수 있지만 용도는 정확히 같다. 수학에서 하는 일이 다 그렇듯, 계산이 쉬운 곳에서 어떤 성질이 있음을 확인한 후 실제로 증명이 필요한 곳으로 그 성질을 보존 시키는 것이다.

정의²

$X$ 에서 정의된 두 맵 $f, g : X \to X$ 에 대해 $C \circ f = g \circ C$ 를 만족하는 연속 단사 $C$ 가 존재하면 $f$ 와 $g$ 가 컨쥬게이트^conjugate라고 한다.

정리³

모든 $x$ 에 대해 $g \left( C(x) \right) = C \left( f(x) \right)$ 라고 하자.

• [1]: $x$ 가 $f$ 의 피리어딕-$k$ 포인트면 $C(x)$ 는 $g$ 의 피리어딕-$k$ 포인트다.
• [2]: $f$ 의 피리어딕-$k$ 오빗에서 $C’ \ne 0$ 면 $$\left( g^{k} \right) ' \left( C (x) \right) = \left( f^{k} \right) ' (x)$$

설명

위의 두 가지 정리는 컨쥬게이시^conjugacy가 맵을 거듭해서 취하는 것과 미분에 관계없이 유지됨을 의미한다. 이는 곧 하나의 시스템에서 랴푸노프 지수를 구하기 쉽다면 이와 컨쥬게이트인 시스템에서도 랴푸노프 지수를 구하기 쉽다는 말이다.

예시⁴

이에 대해 좋은 예시가 바로 로지스틱 맵이 캐어릭한 오빗을 가짐을 보이는 것이다.

예로써 텐트 맵 $T : [0,1] \to [0,1]$ 은 $T(x) = 1 - | 1 - 2x|$ 과 같이 정의되고 로지스틱 맵 $G$ 는 $a=4$ 인 로지스틱 패밀리로써 $G (x) := g_{4} (x) = 4x(1-x)$ 와 같이 정의된다. 이에 대해

$$C(x) : = {{ 1- \cos \pi x} \over { 2 }}$$

는 $T$ 와 $G$ 가 컨쥬게이트가 되게끔 존재하는 연속 단사다. 실제로 계산해보면

$$G(C(x)) = \sin^2 \pi x = C ( T(x) )$$

이 됨을 쉽게 확인할 수 있다.

위의 그림들은 텐트 맵을 반복적으로 취했을 때의 그래프와 $y=x$ 의 교점을 찾음으로써 $T$ 의 피리어딕-$k$ 포인트를 찾아내는 과정을 나타낸다. 이를 통해 $T$ 는 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 피리어딕-$k$ 오빗이 존재함을 알 수 있고, $C$ 의 존재성과 정리 [1]에 의해 $G$ 역시 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해 피리어딕-$k$ 오빗이 존재함을 알 수 있다.

한편 $[0,1]$ 의 거의 어디서나 $\ln \left| \left( T^{k} (x) \right)' \right| = \ln 2 > 0$ 이므로 $T$ 의 피리어딕 포인트 $x$ 는 소스고, $G$ 의 피리어딕 포인트 $C(X)$ 역시 소스다. 따라서 $T$ 의 피리어딕 오빗 $\left\{ x , \cdots , \right\}$ 에 대응하는 $G$ 의 피리어딕 오빗 $\left\{ C(x) , \cdots \right\}$ 는 어심토티컬리 피리어딕일 수 없고, 정리 [2]에 따라 랴푸노프 지수가 양수임을 보장할 수 있다.

이는 결국 로지스틱 맵이 캐어릭 오빗을 가짐을 의미한다. 이렇게 간접적인 증명도 어렵다고 느낄 수는 있지만, 그냥 로지스틱 맵이 캐어릭 오빗을 가지는 걸 직접 증명하는 것보다는 훨씬 쉬울 것이다.

증명

정리 [1]의 증명

$C \left( f^{k-1} (x) \right) = g^{k-1} \left( C (x) \right)$ 이 성립한다고 가정하면

$$ \begin{align*} C \left( f^{k} (x) \right) =& g \left[ C \left( f^{k-1} (x) \right) \right] \\ =& g \left[ g^{k-1} \left( C (x) \right) \right] \\ =& g^{k} \left( C (x) \right) \end{align*} $$

한편 $k=1$ 일 때 $f^{1} (x) = x$ 이므로

$$ g \left( C(x) \right) = C \left( f(x) \right) = C (x) $$

수학적 귀납법에 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해

$$ C \left( f^{k} (x) \right) = g^{k} \left( C (x) \right) $$

$x$ 가 $f$ 의 피리어딕-$k$ 포인트이면 $f^{k} (x) = x$ 이므로

$$ g^{k} \left( C (x) \right) = C(x) $$

따라서 $C(x)$ 는 $g$ 의 피리어딕-$k$ 포인트가 된다.

■

정리 [2]의 증명

$x$ 가 $f$ 의 피리어딕-$k$ 포인트라고 하자.

정리 [1]의 증명에서

$$ g^{k} \left( C (x) \right) = C \left( f^{k} (x) \right) $$

체인 룰에 의해

$$ \left( g^{k} \right)' \left( C(x) \right) C’ (x) = C ' (x) \left( f^{k} \right)' (x) $$

$C ' (x) \ne 0$ 이므로 양변에서 소거하면

$$ \left( g^{k} \right)' \left( C(x) \right) = \left( f^{k} \right)' (x) $$

■

코드

다음은 텐트 맵 $T$ 와 로지스틱 맵 $G$, $T^{k}$ 의 그래프를 그려주는 코드를 R 로 작성한 것이다.

tent<-function(x) {1 - abs(1-2*x)}
logistic<-function(x) {4*x*(1-x)}
win.graph(8,4); par(mfrow=c(1,2))
plot(tent,main='Tent Map T')
plot(logistic,main='Logistic Map G\')
 
win.graph(9,3.5); par(mfrow=c(1,3))
plot(tent,main='T',xlab='x',ylab='y'); abline(0,1)
plot(seq(0,1,len=1000),tent(tent(seq(0,1,len=1000))),main='T^2',type='l',xlab='x',ylab='y');abline(0,1)
plot(seq(0,1,len=1000),tent(tent(tent(tent(tent(seq(0,1,len=1000))))))
     ,main='T^k',type='l',xlab='x',ylab='y');abline(0,1)