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체비셰프 미분방정식의 급수해: 체비셰프 다항식 📂상미분방정식

체비셰프 미분방정식의 급수해: 체비셰프 다항식

정의

다음의 미분방정식을 체비셰프Chebyshev 미분방정식이라 한다.

(1−x2)d2ydx2−xdydx+n2y=0 (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -x\dfrac{dy}{dx}+n^2 y=0

설명

체비셰프는 러시아 사람이라 이름 표기가 제각각이다. 네이버에서는 체비쇼프라고 검색해야 해당 인물이 나오고, 대한수학회에서는 체비셰프라고 한다.

계수에 독립변수 xx가 포함된 형태이며, 해가 멱급수 꼴이라고 가정하면 풀 수 있다. 체비셰프 방정식의 해를 체비셰프 다항식이라고하며 해를 흔히 Tn(x)T_{n}(x)로 표기한다.

풀이

(1−x2)y′′−xy′+λ2y=0 \begin{equation} (1-x^2)y^{\prime \prime} -xy^{\prime}+\lambda^2 y=0 \label{1} \end{equation}

위와 같이 주어진 체비셰프 미분방정식의 해를 다음과 같다고 가정하자.

y=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯=∑n=0∞an(x−x0)n y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n

이 때 x=0x=0일 때 y′′y^{\prime \prime}의 계수가 (1−x2)∣x=0=1≠0(1-x^2)|_{x=0}=1\ne 0이므로 x0=0x_{0}=0으로 두자. 그러면

y=a0+a1x+a2x2+⋯=∑n=0∞anxn \begin{equation} y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n \label{2} \end{equation}

급수해로 가정하고 풀이를 시작하지만 풀이의 끝부분에서 사실 yy의 항이 유한함을 알게 된다. 이제 (1)\eqref{1}에 대입하기 위해 y′y^{\prime}와 y′′y^{\prime \prime}를 구해보자.

y′=a1+2a2x+3a3x2+⋯=∑n=1∞nanxn−1 y^{\prime}=a_{1}+2a_2x+3a_{3}x^2+\cdots=\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}

y′′=2a2+3⋅2a3x+4⋅3a4x2+⋯=∑n=2n(n−1)anxn−2 y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+4\cdot 3 a_{4}x^2 +\cdots = \sum \limits_{n=2} n(n-1)a_{n}x^{n-2}

(1)\eqref{1}에 y,y′,y′′y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}를 대입하면 다음과 같다.

(1−x2)∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x∑n=1∞nanxn−1+λ2∑n=0∞anxn=0 (1-x^2)\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

첫째항의 계수(1−x2)(1-x^2)의 괄호를 풀어서 정리하면

∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x2∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x∑n=1∞nanxn−1+λ2∑n=0∞anxn=0 \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x^2\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0

  ⟹  ∑n=2∞n(n−1)anxn−2−∑n=2∞n(n−1)anxn−∑n=1∞nanxn+λ2∑n=0∞anxn=0 \implies \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n = 0

여기서 핵심은 xx의 차수를 맞춰주는 것이다. 나머지는 모두 xnx^n으로 표현된 반면 첫번째 급수만 xn−2x^{n-2}로 표현됐으므로 nn 대신 n+2n+2를 대입하면

∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=2∞n(n−1)anxn−∑n=1∞nanxn+λ2∑n=0∞anxn=0 \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+\lambda^2 \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

두번째 급수가 x2x^2항부터 시작하므로 나머지 급수에서 n=0,1n=0,1인 항을 밖으로 빼주고 상수항은 상수항끼리, 1차항은 1차항끼리 묶어주면

[2⋅1a2+λ2a0]+[3⋅2a3−a1+λ2a1]x+∑n=2∞[(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−nan+λ2an]xn=0 \left[ 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} \right]+\left[ 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} \right]x \\ + \sum \limits_{n=2}^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n} \right] x^n=0

위의 식이 성립하려면 모든 계수가 00이어야 한다.

2⋅1a2+λ2a0=0 2\cdot 1 a_2+\lambda^2 a_{0} = 0

3⋅2a3−a1+λ2a1=0 3\cdot 2 a_{3}-a_{1}+\lambda^2a_{1} =0

(n+2)(n+1)an+2−n(n−1)an−nan+λ2an=0 (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_{n}-na_{n}+\lambda^2a_{n}=0

각각을 정리하면

a2=−λ22⋅1a0a3=−λ2−123⋅2a1an+2=−λ2−n2(n+2)(n+1)an \begin{align} a_2 &= -\dfrac{\lambda^2}{2 \cdot 1}a_{0} \label{3} \\ a_{3} &=-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3\cdot 2} a_{1} \label{4} \\ a_{n+2} &= -\dfrac{\lambda^2-n^2}{(n+2)(n+1)}a_{n} \label{5} \end{align}

점화식 (5)\eqref{5}를 얻었으므로 a0a_{0}와 a1a_{1}값만 알면 모등 계수를 알 수 있다. (3),(5)\eqref{3}, \eqref{5}로부터 짝수차수항의 계수를 구하면

a4=−λ2−224⋅3a2=λ2(λ2−22)4!a0a6=−λ2−426⋅5a4=−λ2(λ2−22)(λ2−42)6!a0⋮ \begin{align*} a_{4} &= -\dfrac{\lambda^2-2^2}{4\cdot 3}a_2=\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0} \\ a_{6} &= -\dfrac{\lambda^2-4^2}{6\cdot 5}a_{4}= -\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)(\lambda^2-4^2)}{6!}a_{0} \\ &\vdots \end{align*}

여기서 n=2m(m=1,2,3,⋯ )n=2m (m=1,2,3,\cdots)이라 하면

an=a2m=(−1)mλ2(λ2−22)⋯(λ2−(2m−2)2)(2m)!a0 a_{n}=a_{2m}=(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0}

마찬가지로 (4),(5)\eqref{4}, \eqref{5}로부터 홀수차수항의 계수를 구하면

a5=−λ2−325⋅4a3=(λ2−12)(λ2−32)5!a1a7=−λ2−527⋅6a5=−(λ2−12)(λ2−32)(λ2−52)7!a1⋮ \begin{align*} a_{5} &= -\dfrac{\lambda^2-3^2}{5\cdot 4}a_{3}=\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1} \\ a_{7} &= -\dfrac{\lambda^2-5^2}{7\cdot 6 }a_{5}=-\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)(\lambda^2-5^2)}{7!}a_{1} \\ &\vdots \end{align*}

여기서 n=2m+1(m=1,2,3,⋯ )n=2m+1 (m=1,2,3,\cdots)이라 하면

an=a2m+1=(−1)m(λ2−12)(λ2−32)⋯(λ2−(2m−1)2)(2m+1)!a1 a_{n}=a_{2m+1}=(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1}

이렇게 구한 계수를 (2)\eqref{2}에 대입해서 해를 구하면

y=a0+a1x−λ22!a0x2−λ2−123!a1x3+λ2(λ2−22)4!a0x4+(λ2−12)(λ2−32)5!a1x5+⋯+(−1)mλ2(λ2−22)⋯(λ2−(2m−2)2)(2m)!a0x2m+(−1)m(λ2−12)(λ2−32)⋯(λ2−(2m−1)2)(2m+1)!a1x2m+1+⋯(m=1,2,3,⋯ ) \begin{align*} y = &a_{0}+a_{1}x -\dfrac{\lambda^2}{2!}a_{0}x^2-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!} a_{1}x^3 + \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}a_{0}x^4 \\ &+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}a_{1}x^5+ \cdots +(-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!}a_{0}x^{2m} \\ &+(-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!}a_{1}x^{2m+1}+\cdots\quad(m=1,2,3,\cdots) \end{align*}

이때 짝수차수항은 a0a_{0}로, 홀수차수항은 a1a_{1}로 묶어서 정리하면

y=a0[1−λ22!x2+λ2(λ2−22)4!x4+∑m=3∞(−1)mλ2(λ2−22)⋯(λ2−(2m−2)2)(2m)!x2m+⋯ ]+a1[x−λ2−123!x3+(λ2−12)(λ2−32)5!x5+∑m=3∞(−1)m(λ2−12)(λ2−32)⋯(λ2−(2m−1)2)(2m+1)!x2m+1+⋯ ] \begin{align*} y&=a_{0}\left[1-\dfrac{\lambda^2}{2!}x^2+\dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)}{4!}x^4+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{\lambda^2(\lambda^2-2^2)\cdots(\lambda^2-(2m-2)^2)}{(2m)!} x^{2m} + \cdots \right] \\ & + a_{1}\left[x-\dfrac{\lambda^2-1^2}{3!}x^3+\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2)}{5!}x^5+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(\lambda^2-1^2)(\lambda^2-3^2) \cdots (\lambda^2-(2m-1)^2)}{(2m+1)!} x^{2m+1} + \cdots\right] \end{align*}

첫번째 괄호를 y0y_{0}, 두번째 괄호를 y1y_{1}이라 하면 체비셰프 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y=a0y0+a1y1 y=a_{0}y_{0}+a_{1}y_{1}

두 급수 y0y_{0}와 y1y_{1}은 비율 판정법에 의해 ∣x∣<1|x|<1의 구간에서 수렴한다는 것을 알 수 있다. (5)\eqref{5}에 의해 an+2an=n2−λ2(n+2)(n+1)=n2−λ2n2+3n+2\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}이므로 비율 판정법을 쓰면

lim⁡n→∞n2−λ2n2+3n+2x2=x2<1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n^2-\lambda^2}{n^2+3n+2}x^2=x^2<1

  ⟹  −1<x<1 \implies -1<x<1

하지만 많은 문제에서 x=cos⁡θx=\cos \theta, λ\lambda는 음이 아닌 정수의 형태로 식이 나타나고 모든 θ\theta에 대해 수렴하는 해를 얻고자 한다. 즉, x=±1x=\pm 1에서도 수렴하는 해를 찾는 것이 목표다. 다행히 λ\lambda가 정수일 때는 원하는 해가 존재하는데 이때 λ\lambda의 값에 따라서 반드시 y0,y1y_{0}, y_{1} 둘 중 하나의 해만 존재한다. λ\lambda가 00이거나 짝수일 때는 y1y_{1}이 발산하고, y0y_{0}은 짝수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. λ\lambda가 홀수이면 y0y_{0}가 발산하고, y1y_{1}은 홀수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. 표로 정리하면 아래와 같다.

λ\lambda값y0y_{0}y1y_{1}방정식의 해
00이거나 짝수유한항의 다항식발산y=a0y0y=a_{0}y_{0}
홀수발산유한항의 다항식y=a1y1y=a_{1}y_{1}

  • Case 1. λ\lambda가 00이거나 짝수

    • λ=0\lambda=0일때, 2차항부터 λ2\lambda^2을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y0=1y_{0}=1

    • λ=2\lambda=2일때, 4차항부터 (λ2−22)(\lambda^2-2^2)를 인수로 가져 전부 00이 되므로 y0=1−x2y_{0}=1-x^2

    • λ=4\lambda=4일때, 6차항부터 (λ2−42)(\lambda^2-4^2)를 인수로 가져 전부 00이 되므로 y0=1−8x2+8x4y_{0}=1-8x^2+8x^4

    그리고 λ=0\lambda=0일 때 x=1x=1에서 y1=1+13!+1⋅325!+⋯y_{1}=1+\frac{1}{3!}+\frac{1\cdot3^2}{5!}+\cdots인데 이는 발산한다. 다른 짝수일 때도 마찬가지다. 따라서 λ\lambda가 00이거나 짝수일 때는 해가 짝수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 y0y_{0}의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다. λ\lambda가 홀수일 때는 반대의 결과를 얻는다.

  • Case 2. λ\lambda가 홀수

    • λ=1\lambda=1일때, 3차항부터 (λ2−12)(\lambda^2-1^2)을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y1=xy_{1}=x

    • λ=3\lambda=3일때, 5차항부터 (λ2−32)(\lambda^2-3^2)을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y1=−3x+4x3y_{1}=-3x+4x^3

    • λ=5\lambda=5일때, 7차항부터 (λ2−52)(\lambda^2-5^2)을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y1=5x−20x3+16x5y_{1}=5x-20x^3+16x^5

    λ=1\lambda=1일 때 x2=1x^2=1에서 y0y_{0}는 발산하고 다른 홀수일 때도 마찬가지다. 따라서 λ\lambda이 홀수일 때는 해가 홀수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 y1y_{1}의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다.

그리고 λ\lambda가 음수인 경우는 λ\lambda가 양수인 경우와 같다는 것을 y0y_{0}과 y1y_{1}을 살펴보면 알 수 있다. 예를 들어 λ=2\lambda=2인 경우와 λ=−2\lambda=-2인 경우가 같고, λ=1\lambda=1인 경우와 λ=−1\lambda=-1인 경우가 같다. 따라서 λ\lambda는 음이 아닌 정수의 범위에서만 생각해주면 된다. a0a_{0}와 a1a_{1}의 값을 잘 선택하여 x=1x=1일 때 해가 y(x)=1y(x)=1이 되도록 만들면 이를 체비셰프 다항식Chebyshev polynomial이라 하고 흔히 Tn(x)T_{n}(x)라 표기한다. 처음 몇 개의 체비셰프 다항식은 아래와 같다.

T0(x)=1T1(x)=xT2(x)=2x2−1T3(x)=4x3−3xT4(x)=8x4−8x2+1T5(x)=16x5−20x3+5x⋮ \begin{align*} T_{0}(x) &= 1 \\ T_{1}(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2-1 \\ T_{3}(x) &= 4x^3-3x \\ T_{4}(x) &= 8x^4-8x^2+1 \\ T_{5}(x) &= 16x^5-20x^3+5x \\ \vdots & \end{align*}

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