📂전자기학

자기 쌍극자가 외부 자기장에 의해 받는 토크와 상자성

설명¹

전기 쌍극자가 외부 전기장에 의해 토크를 얻는 것처럼 자기 쌍극자도 그러하다. 아래 그림과 같이 일정한 외부 자기장 $\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}$하에 전류 고리가 있다고 하자. 작은 사각형의 전류고리를 겹쳐서 임의의 모양으로 생긴 전류고리를 근사할 수 있으므로 사각형의 전류 고리에 대해서만 생각하도록 하자. 각 변이 받는 자기력은 로런츠 법칙으로 계산할 수 있다. 2번과 4번 변이 받는 두 힘의 크기는 당연히 같고, 두 힘의 방향은 오른손 법칙에 의해 서로 반대임을 알 수 있다. 따라서 2번, 4번 변이 받는 힘은 서로 상쇄된다.1번과 3번 변이 받는 두 힘의 경우 위 그림처럼 분해할 수 있다. 따라서 전류 고리가 회전함을 알 수 있고 토크를 계산할 수 있다.

$$ \mathbf{N}=\dfrac{1}{2}aF\sin \theta \hat{\mathbf{x}}+\dfrac{1}{2}aF\sin\theta \hat{\mathbf{x}}=aF\sin\theta \hat{\mathbf{x}} $$

자기력의 크기는

$$ |\mathbf{F}|=\left| I \int (d\mathbf{l} \times \mathbf{B} ) \right| = IbB $$

따라서 토크는

$$ \mathbf{N}=IabB\sin\theta \hat{\mathbf{x}}=mB\sin\theta\hat{\mathbf{x}} \\ \implies \mathbf{N}=\mathbf{m}\times\mathbf{B} $$

$m=Iab$는 고리의 자기 쌍극자 모멘트의 크기다.

이는 고른 자기장 속에서 전류 고리에 작용하는 토크이며 자기장이 고르지 않을 땐 다르게 계산해야 한다. 위의 결과는 외부 전기장에 의해 생기는 전기 쌍극자의 토크 $\mathbf{N}=\mathbf{p} \times \mathbf{E}$의 꼴과 같다. 위의 토크에 의해 전류 고리는 $xy$평면과 평행해질 때 까지 회전하며 쌍극자 모멘트의 방향과 외부 자기장의 방향이 일치하게 된다. 상자성이 생긴 것이다.

모든 전자는 자기 쌍극자를 가지므로 상자성은 일반적인 현상이라 생각할 수 있지만 그렇지 않다. 파울리의 배타원리에 의해 원자 속의 전자는 스핀 방향이 반대인 두 전자끼리 쌍을 이룬다. 따라서 상자성은 전자의 수가 홀수인 원자나 분자에서 나타나며 짝을 이루지 못해 남은 전자에 의해 회전력을 받는다. 일정하지 않은 자기장 $\mathbf{B}$에 의해 자기 쌍극자 모멘트가 $\mathbf{m}$인 아주 작은 고리가 받는 힘은 다음과 같다.

$$ \mathbf{F}=\nabla (\mathbf{m} \cdot \mathbf{B}) $$

이 역시 전기장 속의 전기 쌍극자가 받는 힘 $\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{p} \cdot \mathbf{E})$과 같은 꼴이다.