감마함수
정의
다음과 같이 정의된 함수 $\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ 를 감마 함수라고 한다. $$ \Gamma (x) := \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$
설명
위 수식에서 적분에 초점을 두면 오일러 적분이라고도 부른다. 감마함수는 순수수학 뿐만 아니라 물리학, 통계학 등지에서 무척 중요한 함수로도 유명하다. 흥미로운 성질들을 매우 풍부하게 가지고 있으나 가장 대표적인 것은 팩토리얼을 실수에 대해 일반화하는 개념이라는 점이다.
정리
팩토리얼의 일반화로써의 감마함수
자연수 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\Gamma (n) = (n-1)!$ 이 성립한다.
증명
전략: 일반화라는 점에 대해서는 감마함수가 팩토리얼의 꼴로 나타나는 것만 보이면 충분하다.
감마함수의 정의에 의해 $$ \Gamma (n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt $$
Case 1. $n=1$ $$ \Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = 1 $$ 이는 $0! = 1$ 이라는 것과 같은 의미로 받아들일 수 있다.
Case 2. $n>1$
부분적분법에 의해 $$ \begin{align*} \Gamma (n) =& \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} dt \\ =& \left[ -t^{n-1} e^{-t} \right] _{0} ^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -(n-1)t^{n-2} e^{-t} dt \\ =& (n-1) \int_{0}^{\infty} t^{n-2} e^{-t} dt \\ =& (n-1) \Gamma (n-1) \end{align*} $$
두 케이스에 대해서 정리하면 $$ \begin{align*} \Gamma (n) =& (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2\cdot\Gamma (2) \\ =& (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2\cdot 1\cdot \Gamma (1) \\ =& (n-1)! \end{align*} $$
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