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바나흐 고정점 정리 증명 📂바나흐공간

바나흐 고정점 정리 증명

정의

  • (X,∥⋅∥)(X, \left\| \cdot \right\|)를 바나흐 공간이라고 하자. 모든 x,x~∈Xx, \tilde{x} \in X 와 0≤r<10 \le r < 1 에 대해 ∥T(x)−T(x~)∥≤r∥x−x~∥\| T(x) - T ( \tilde{x} ) \| \le r \| x - \tilde{x} \| 를 만족하는 T:X→XT : X \to X 를 축소 사상contraction mapping이라 정의한다.

  • T(α)=αT ( \alpha ) = \alpha 를 만족하는 α∈X\alpha \in X를 고정점이라 한다.

정리 1

TT의 고정점은 유일하게 존재한다.

설명

바나흐 고정점 정리는 축소 사상 정리contraction mapping theorem라도 불리며, 힐베트르 공간을 상정하는 편미분방정식의 풀이나 주로 Rn\mathbb{R}^{n} 상에서의 메소드를 다루는 수치해석에서 요긴하게 쓰일 수 있다.

사실 증명에서 놈 자체는 필요하지는 않기 때문에 XX는 바나흐 공간이 아니라 완비 거리공간에 대해 일반화 될 수 있다. 거리공간의 (X,d)(X , d) 의 거리를 d(x,y):=∥x−y∥d (x,y) := \| x - y \| 와 같이 정의하면 정확히 같은 증명이 된다.

증명

  • Part 1. TT 의 연속성

    δ:=ε2\displaystyle \delta := {{\varepsilon} \over {2}} 이라고 하면

    ∥x−x~∥<δ=ε2r \| x - \tilde{x} \| < \delta = {{ \varepsilon } \over { 2 r }}

      ⟹  ∥T(x)−T(x~)∥≤r∥x−x~∥=ε2<ε \implies \| T(x) - T ( \tilde{x} ) \| \le r \| x - \tilde{x} \| = {{\varepsilon } \over {2}} < \varepsilon

    따라서 TT 는 XX 에서 연속함수다.

  • Part 2. α\alpha 의 존재성

    시퀀스 {xn}n∈N\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 을 xn+1:=T(xn)x_{n+1} := T ( x_{n} ) 과 같이 정의하자. 그러면

    ∥xn−xn−1∥=∥T(xn−1)−T(xn−2)∥=r∥xn−1−xn−2∥ \| x_{n} - x_{n-1} \| = \| T(x_{n-1} )- T(x_{n-2}) \| = r \| x_{n-1} - x_{n-2} \|

    재귀적으로 풀어내면

    ∥xn−xn−1∥=r∥xn−1−xn−2∥=r2∥xn−2−xn−3∥⋮=rn−1∥x1−x0∥ \begin{align*} \| x_{n} - x_{n-1} \| =& r \| x_{n-1} - x_{n-2} \| \\ =& r^2 \| x_{n-2} - x_{n-3} \| \\ \vdots& \\ =& r^{n-1} \| x_{1} - x_{0} \| \end{align*}

    이제 n,m,k∈Nn, m, k \in \mathbb{N} 에 대해 n=m+kn = m + k 라고 하면 삼각부등식에 의해

    ∥xn−xm∥=∥xm+k−xm∥≤∥xm+k−xm+(k−1)∥+⋯+∥xm+k−xm+(k−1)∥≤∥xm+1−xm∥(1+r+⋯+rk)≤∥xm+1−xm∥1−rk1−r≤∥xm+1−xm∥11−r≤rm−11−r∥x1−x0∥ \begin{align*} \| x_{n} - x_{m} \| =& \| x_{m+k} - x_{m} \| \\ \le & \| x_{m+k} - x_{m+(k-1) } \| + \cdots + \| x_{m+k} - x_{m+(k-1) } \| \\ \le & \| x_{m+1} - x_{m } \| \left( 1 + r + \cdots + r^{k} \right) \\ \le & \| x_{m+1} - x_{m } \| {{1 - r^{k}} \over {1 - r}} \\ \le & \| x_{m+1} - x_{m } \| {{1 } \over {1 - r}} \\ \le & {{ r^{m-1} } \over {1 - r}} \| x_{1} - x_{0} \| \end{align*}

    따라서 {xn}n∈N\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} 는 코시 시퀀스다. XX 는 바나흐 공간이므로, n→∞n \to \infty 일 때 xnx_{n} 는 어떤 α∈X\alpha \in X 로 수렴함을 알 수 있다. 위의 Part 1. 에서 TT 는 연속이므로

    T(α)=T(lim⁡n→∞xn)=lim⁡n→∞T(xn)=lim⁡n→∞xn+1=α \begin{align*} T ( \alpha ) =& T \left( \lim_{n \to \infty } x_{n} \right) = \lim_{n \to \infty } T(x_{n} ) \\ =& \lim_{n \to \infty } x_{n+1} \\ =& \alpha \end{align*}

    이고, α\alpha 는 TT 의 고정점이다.

  • Part 3. α\alpha 의 유일성

    β∈X\beta \in X 또한 TT 의 고정점이라고 하자.

    ∥α−β∥≤∥T(α)−T(β)∥≤r∥α−β∥ \| \alpha - \beta \| \le \| T( \alpha ) - T ( \beta ) \| \le r \| \alpha - \beta \|

      ⟹  (1−r)∥α−β∥≤0 \implies (1 - r ) \| \alpha - \beta \| \le 0

      ⟹  ∥α−β∥≤0 \implies \| \alpha - \beta \| \le 0

      ⟹  α=β \implies \alpha = \beta

    따라서 TT 의 고정점 α∈X\alpha \in X 는 유일하다.

■

혹은 바나흐 공간은 거리 공간이므로 하우스도르프 공간이고, 하우스도르프 공간에서는 시퀀스가 유일하게 수렴한다고 해도 좋다.

  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p300~302. ↩︎