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양자역학에서 파동함수의 확률적 해석과 규격화 📂양자역학

양자역학에서 파동함수의 확률적 해석과 규격화

파동함수

파동함수wave function는 양자역학에서 시간, 위치에 따른 입자의 운동 상태를 나타내는 함수이다. 생새우초밥집에서는 위치와 시간에 대한 파동함수를 ψ(x,t)\psi (x,t)로 표기하고, 시간에 무관하고 위치에 대한 파동 함수는 u(x)u(x)로 표기한다.

확률적 해석

파동함수로 입자의 상태를 이해하는 방법은 막스 보른Max Born의 통계학적(확률적) 해석을 기반으로 한다. 여기서는 파동함수의 크기의 제곱을 어느 구간에서 적분한 값에 해당 구간에서 입자를 발견할 확률이라는 의미를 부여한다.

∫ab∣ψ(x,t)∣2dx=The probability that a particle exists in the interval [a,b] at time t \int _{a} ^b |\psi (x,t)|^2dx \\[1em] = \text{The probability that a particle exists in the interval } [a,b] \text{ at time } t

즉 양자역학에서는 ∣ψ(x, t)∣2\left| \psi (x,\ t) \right|^2을 시간이 tt일 때, 어느 지점 xx에서 입자가 존재할 확률 밀도 함수로 다룬다. 따라서 위의 식은 시간이 tt일 때 구간 [a,b][a, b]에서 입자가 존재할 확률을 의미한다. 그러면 입자는 어딘가에는 분명 존재하므로 전체 구간에 대한 적분값은 11이어야 한다.

∫−∞∞∣ψ(x, t)∣2dx=1 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi (x,\ t)|^2 dx=1

위의 조건은 파동함수를 확률적으로 해석하는 관점에서부터 나왔다.

규격화

그런데 아래의 식을 보면 ψ\psi가 슈뢰딩거 방정식을 만족할 때, 이의 상수배인 aψa\psi도 슈뢰딩거 방정식을 만족함을 알 수 있다.

Hψ=Eψ  ⟹  aHψ=aEψ  ⟹  H(aψ)=E(aψ) H\psi = E\psi \implies aH\psi = aE\psi \implies H(a\psi) = E(a\psi)

aψa\psi에 대해서 위의 해석을 적용하면, ∫−∞∞∣aψ∣2dx=a2≠1{\displaystyle \int _{-\infty}^{\infty}} |a\psi|^2 dx=a^2 \ne 1이 되어 이 값을 확률이라고 해석할 수 없게 된다. 따라서 파동함수의 크기를 조절하여 파동함수의 전구간에 대한 적분값을 11이 되도록 하여 확률적인 의미를 주어야한다. 이를 규격화normalization라고 한다.

양자역학에서 파동함수를 다룰 때에는 반드시 규격화를 해주어야한다. 예를 들어 어떤 파동함수 ψ\psi에 대해서 적분이 다음과 같다고 하자.

∫−∞∞∣ψ∣2dx=9 \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2dx=9 \end{equation}

그러면 이를 그대로 다루는 것이 아니다. 양변을 99로 나누면 ∫−∞∞∣13ψ∣2dx=1{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} }|\frac{1}{3}\psi|^2dx=1이 되어 확률적인 해석이 가능한 꼴이 된다. 여기서 ψ\psi를 규격화하면 13ψ\frac{1}{3}\psi가 되고, 13ψ\frac{1}{3}\psi를 규격화된 파동함수라 한다. 양자역학에서 다루는 함수는 규격화된 13ψ\frac{1}{3}\psi이다.

내적

이를 내적으로 표현하면 다음과 같다. ψ\psi가 규격화된 파동함수라면,

⟨ψ∣ψ⟩=∫−∞∞ψ∗(x)ψ(x)dx=∫−∞∞∣ψ(x)∣2dx=1 \braket{\psi | \psi} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi^{\ast}(x) \psi(x) dx = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^{2} dx = 1

제곱적분 가능

한편 (1)(1)과 같이 파동함수의 확률밀도의 적분값이 11이 아닌 것은 문제가 되지 않는다. 규격화를 통해서 크기를 조절해주면 되기 때문이다. 문제가 되는 경우는 바로 적분값이 발산하는 경우이다. 따라서 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 파동함수는 아래의 수식을 만족해야 한다.

∫−∞∞∣ψ(x, t)∣2dx<∞ \int_{-\infty}^{\infty} |\psi (x,\ t)|^2dx <\infty

위의 조건을 만족하는 파동함수를 제곱적분 가능한square-integrable 함수 라고 한다. 제곱적분 가능한 파동함수는 x→±∞x \rightarrow \pm \infty일 때 함숫값이 00으로 수렴해야 한다. 만약 그렇지 않으면 파동함수의 그래프 아래 넓이가 수렴하지 않는다는 뜻이고 이는 곧 제곱적분 가능하지 않다는 말이다.