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스토크스 정리

정리¹

$\mathbf{v}, \mathcal{S}$를 각각 3차원 공간에서 어떤 벡터, 면적이라고 하자. $\mathcal{S}$의 면적 벡터를 $d\mathbf{a}$, $\mathcal{S}$의 테두리를 $\mathcal{P}$, $\mathcal{P}$를 따라 움직이는 경로를 $d\mathbf{l}$이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$\int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$$

이를 스토크스 정리^{Stokes’ theorem} 혹은 회전의 기본 정리^{fundamental theorem for curl}라고 한다.

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참고로 생새우초밥집에서는 위와 같이 정리이름에서 쓰이는 경우가 아니라 ‘회전’이라는 말이 단독으로 쓰일 땐 ‘컬’로 사용한다.

설명

정리의 수식을 풀어서 설명하면 다음과 같다.

• 어떤 영역 $\mathcal{S}$ 안에서의 벡터 $\mathbf{v}$가 회전하는 양의 총 합(좌변)은 그 영역의 테두리 $\mathcal{P}$를 따라서 벡터 $\mathbf{v}$의 값을 모두 더한 것(우변)과 같다.

물리학을 공부하는 사람이라면 스토크스 정리의 증명보다는 어떤 의미를 가지고 있는지 파악하는 것이 훨씬 더 중요하다.

$d\mathbf{l}$은 폐경로이므로 어느 점에서 시작하든, 어느 방향으로 시작하든 결과에는 영향을 주지 않는다. 따라서 면적벡터 $d\mathbf{a}$의 방향은 오른손 법칙으로 결정한다.

면적 안에서 회전하는 양의 총합과 경로를 따라가는 양의 총 합이 같다는 말은 그림을 보지 않고서 이해하기는 힘들다. 아래의 그림을 보자.

적분값은 오로지 $\mathcal{S}$의 경계인 $\mathcal{P}$에 따라서만 결정된다

스토크스 정리는 등식이기 때문에 좌변의 $\mathcal{S}$가 어떤 모양이든 간에 경계가 $\mathcal{P}$로 같은 곡면이라면 그 적분 값은 항상 같다. 즉 곡면이 어떻게 생겼는지는 무관하다. 아래의 그림처럼 여러 곡면이 있어도 그 테두리가 같다면 $\int (\nabla \times \mathbf{v})\cdot d\mathbf{a}$는 같은 값을 가진다. 따라서 적분값은 $\mathcal{S}$의 경계에 의해서 결정된다.

닫힌 곡면 $\mathcal{S}$에 대한 적분값은 항상 $0$이다

닫힌 곡면의 경우 테두리의 길이가 $0$이므로 경로의 길이가 $0$이고, 우변의 폐경로 적분은 항상 $0$이다. 따라서 다음의 결과를 얻는다.

$$\int_{\mathcal{S}} (\nabla \times \mathbf{v} )\cdot d\mathbf{a} = 0 = \oint_{\mathcal{P}} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}$$

닫힌 곡면의 테두리 길이가 $0$이라는게 이해가 되지 않는다면 다음의 그림을 보자.