📂통계적분석

이동평균과정

모델 ¹

백색 잡음 $\left\{ e_{t} \right\}_{t \in \mathbb{N}}$ 에 대해 $Y_{t} := e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2} - \cdots - \theta_{q} e_{t-q}$ 과 같이 정의된 $\left\{ Y_{t} \right\}_{ t \in \mathbb{N} }$ 을 **$q$차 이동평균과정 $MA(q)$**라고 한다.

• (1): $MA(1) : Y_{t} = e_{t} - \theta e_{t-1}$
• (2): $MA(2) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2}$
• (q): $MA(q) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2} - \cdots - \theta_{q} e_{t-q}$
• (∞): $MA( \infty ) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2} - \cdots$

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• $\mathbb{N}$ 은 자연수의 집합 $\left\{ 1, 2, 3 , \cdots \right\}$ 을 의미한다.

설명

다음 그림의 녹색, 빨간색, 주황색, 보라색 선을 이동평균선이라고 한다.

이동평균선은 특히 주식시장 등에서 많이 활용되는 그래프로, 하루하루의 극단적인 변화 대신 평균을 봄으로써 전반적인 추세를 보는데에 유용하다. 그러나 수식만 보아서는 왜 $MA(q)$ 를 ‘이동평균과정’이라고 부르는지는 이해하기 어려운데, 간단한 예로써 $MA(2) : Y_{t} = e_{t} - \theta_{1} e_{t-1} - \theta_{2} e_{t-2}$ 라고 한다면 $\displaystyle \theta_{1} = \theta_{2} = - {{1} \over {2}}$ 일 때 $\displaystyle Y_{t} = {{ e_{t-1} + e_{t-2} } \over {2}} + e_{t}$ 이 됨을 떠올리면 좋다.

어떤 변수가 무난하게 성장하거나 감퇴하고 있다면, 즉 국소적인 변동이 적다면 이평선을 보는 의미가 없다. 또 이동평균은 어디까지나 변화를 스무딩한 것이지 스케일 자체를 바꾸는 것은 아니다. 비슷하게 $MA(q)$ 는 $q$ 보다 짧은 구간에서 그 패턴을 파악하는 것에 관심을 가지지, 구체적으로 값이 어떻고 큰 추세가 어떻고 하는 것엔 알 바 아니다. 달리 말해, 정상성을 가진 데이터에만 사용할 수 있다.