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아인슈타인 표기법 📂수리물리

아인슈타인 표기법

노테이션

두 번 이상 반복되는 첨자에 대해서는 합기호 ∑\sum를 생략한다.

설명

아인슈타인 합 규약Einstein summation convention이라 부르기도 한다. 공식 같은 것은 아니고 말 그대로 일종의 규칙이다. 벡터 계산을 하다 보면 한 수식에 ∑\sum을 몇 겹씩이나 써야 하는 경우가 흔히 생기는데 이러면 수식이 지저분해지고 손으로 쓸 때도 매우 귀찮다. 따라서 두 번이상 반복되는 첨자가 있을 때는 합 기호를 생략하자는 약속이다. 물론 의미를 헷갈리지 않게 주의해야한다.

헷갈리면 좌변에 어떤 인덱스가 있는지 확인해보면 된다. 좌변에 분명히 인덱스 ii가 없다면, 우변에서 아인슈타인 노테이션에 의해 ∑i\sum \limits_{i}가 생략된 것이다. 반대로 좌변에 인덱스 jj가 있다면, 우변에서는 jj에 대한 ∑\sum이 생략된게 아니라 그냥 없는 거다.

예시

1,2,31,2,3이 각각 x,y,zx,y,z를 나타낸다고 하자. 벡터 A=(A1,A2,A3)\mathbf{A} = (A_{1}, A_{2}, A_{3}), B=(B1,B2,B3)\mathbf{B} = (B_{1}, B_{2}, B_{3})가 주어졌다고 하자.

벡터

A=e^1A1+e^2A2+e^3A3=∑i=13e^iAi=e^iAi \begin{align*} \mathbf{A} &= \hat{\mathbf{e}}_{1}A_{1} + \hat{\mathbf{e}}_{2}A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{3}A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \\ &= \hat{\mathbf{e}}_{i}A_{i} \end{align*}

두 벡터의 내적

A⋅B=A1B1+A2B2+A3B3=∑i=13AiBi=AiBi \begin{align*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} A_{i}B_{i} \\ &= A_{i}B_{i} \end{align*}

크로네커 델타를 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

A⋅B=AiBi=δijAiBj \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{i}B_{i} = \delta_{ij}A_{i}B_{j}

벡터 함수의 다이벌전스

∂∂xi=∇i\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}라고 하자. 그러면 두 벡터의 내적에서와 비슷한 결과를 얻는다.

∇⋅A=∂A1∂x1+∂A2∂x2+∂A3∂x3=∇1A1+∇2A2+∇3A3=∑i=13∇iAi=∇iAi=δij∇iAj \begin{align*} \nabla \cdot \mathbf{A} &= \dfrac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}} + \dfrac{\partial A_{2}}{\partial x_{2}} + \dfrac{\partial A_{3}}{\partial x_{3}} \\ &= \nabla_{1} A_{1} + \nabla_{2} A_{2} + \nabla_{3} A_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3} \nabla_{i} A_{i} \\ &= \nabla_{i}A_{i} \\ &= \delta_{ij}\nabla_{i}A_{j} \end{align*}

두 벡터의 외적

A×B= e^1(A2B3−A3B2)+e^2(A3BA1−A1B3)+e^3(A1B2−A2B1)= e^1A2B3−e^1A3B2+e^2A3B1−e^2A1B3+e^3A1B2−e^1A2B1= ϵ123e^1A2B3+ϵ132e^1A3B2+ϵ231e^2A3B1+ϵ213e^2A1B3+ϵ312e^3A1B2+ϵ321e^3A2B1= ∑i=13∑j=13∑k=13ϵijke^iAjBk= ϵijke^iAjBk \begin{align*} & \mathbf{A} \times \mathbf{B} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( A_{3} BA_{1} - A_{1} B_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{2} B_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} A_{3} B_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{3} B_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} A_{1} B_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{1} B_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} A_{2} B_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j} B_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} A_{j}B_{k} \end{align*}

이때 ϵijk\epsilon_{ijk}는 레비-치비타 심볼이다. 위 결과에 의해 다음의 식이 성립한다.

(A×B)i=ϵijkAjBk (\mathbf{A} \times \mathbf{B} )_{i} = \epsilon_{ijk} A_{j}B_{k}

벡터함수의 컬

∂∂xi=∇i\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = \nabla_{i}라고 하자. 그러면 두 벡터의 외적에서와 비슷한 결과를 얻는다.

∇×A= e^1(∇2A3−∇3A2)+e^2(∇3A1−∇1A3)+e^3(∇1A2−∇2A1)= e^1∇2A3−e^1∇3A2+e^2∇3A1−e^2∇1A3+e^3∇1A2−e^1∇2A1= ϵ123e^1∇2A3+ϵ132e^1∇3A2+ϵ231e^2∇3A1+ϵ213e^2∇1A3+ϵ312e^3∇1A2+ϵ321e^3∇2A1= ∑i=13∑j=13∑k=13ϵijke^i∇jAk= ϵijke^i∇jAk \begin{align*} & \nabla \times \mathbf{A} \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \left( \nabla_{2} A_{3} - \nabla_{3} A_{2} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{2} \left( \nabla_{3} A_{1} - \nabla_{1} A_{3} \right) + \hat{\mathbf{e}}_{3} \left( \nabla_{1} A_{2} - \nabla_{2} A_{1} \right) \\ =&\ \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} - \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} - \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \epsilon_{123} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{2} A_{3} + \epsilon_{132} \hat{\mathbf{e}}_{1} \nabla_{3} A_{2} + \epsilon_{231} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{3} A_{1} + \epsilon_{213} \hat{\mathbf{e}}_{2} \nabla_{1} A_{3} + \epsilon_{312} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{1} A_{2} + \epsilon_{321} \hat{\mathbf{e}}_{3} \nabla_{2} A_{1} \\ =&\ \sum\limits_{i=1}^{3} \sum\limits_{j=1}^{3} \sum\limits_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \\ =&\ \epsilon_{ijk} \hat{\mathbf{e}}_{i} \nabla_{j} A_{k} \end{align*}

여기에서 ∇i\nabla_{i}가 미분이라는 것을 항상 유념해야 한다. 보통의 벡터 성분들은 순서를 바꿔 적어도 큰 문제가 없다.

A1A2A3=A2A1A3 A_{1}A_{2}A_{3} = A_{2}A_{1}A_{3}

다만 ∇i\nabla_{i}는 미분이므로 벡터의 성분과 순서를 절대 바꿔적으면 안된다.

A1∇2A3≠∇2A1A3 A_{1}\nabla_{2}A_{3} \ne \nabla_{2}A_{1}A_{3}

가령 A=(y,xy,xyz)\mathbf{A} = (y,xy,xyz)라고 하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

A1∇2A3=y∂(xyz)∂y=xyz≠2xyz=∂(xy2z)∂y=∇2A1A3 A_{1}\nabla_{2}A_{3} = y \dfrac{\partial (xyz)}{\partial y} = xyz \ne 2xyz = \dfrac{\partial (xy^{2}z)}{\partial y} = \nabla_{2}A_{1}A_{3}

물론 ∂2∂x∂y=∂2∂y∂x\dfrac{\partial^{2} }{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^{2} }{\partial y\partial x}이므로 ∇1∇2=∇2∇1\nabla_{1}\nabla_{2}=\nabla_{2}\nabla_{1}는 성립한다.