드 무아브르의 정리 증명
정리
$z = r \text{cis} \theta$ 이면 모든 자연수 $n$ 에 대해 $z^n = r^n \text{cis} n\theta$ 이 성립한다.
- $\text{cis} \theta: = \cos \theta + i \sin \theta$
증명
수학적 귀납법을 사용하자.
$n=1$ 에 대해서는 자명하고, $n=k$ 에 대해서도 성립한다고 가정하면 $$ z^{k+1} = z z^k = (r \text{cis} \theta)(r^k \text{cis} k\theta) $$ 이다. 한편 $z_1 z_2 = r_1 r_2 \text{cis} (\theta_1 + \theta_2)$ 이므로 $$ z^{k+1} = r^{k+1} \text{cis} (k+1)\theta $$
$n=k$ 일 때 $n=k+1$ 에 대해서도 성립하므로 주어진 식은 모든 자연수에 대해 성립한다.
■