📂추상대수

갈루아 이론

정리 ¹

$K$ 가 $F$ 의 유한정규확대체고 $F \le E \le K$ 라 하자. 고정된 $E$ 를 남기는 $G ( K / F )$ 의 부분군을 $\lambda (E)$ 와 같이 나타내자. 그러면 사상 $\lambda$ 는 $F$ 와 $K$ 사이의 모든 $E$ 를 $G ( K / F )$ 의 모든 부분군으로 대응시키는 동형사상이 된다. $\lambda$ 는 다음의 성질들을 가진다.

1. $\lambda ( E ) = G ( K / E )$
2. $E = K_{ G ( K / E ) } = K_{ \lambda (E) }$
3. $H \le G ( K / F )$ 에 대해 $\lambda ( K_{H} ) = H$
4. $[K : E] = | \lambda (E) |$ 이고 $[ E : F ] = \left( G ( K / F ) : \lambda (E) \right)$
5. $E$ 가 $F$ 의 정규확대체 $\iff$ $\lambda (E)$ 이 $G (K / F)$ 의 정규부분군이다.
6. $\lambda (E)$ 가 $G ( K / F )$ 의 정규부분군이면 $G (E / F) \simeq G ( K / F ) / G ( K / E )$

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• $[ E : F ]$ 는 차수를 의미한다.
• $G(E / F)$ 는 $F$ 상에서 $E$ 의 군을 의미한다.
• $\left( G ( K / F ) : \lambda (E) \right)$ 는 군론에서의 인덱스를 의미한다.
• $K_{ \lambda (E) }$ 는 $K$ 에서 $\lambda (E)$ 로 고정되는 원소만을 모아놓은 집합이다.