📂고전역학

포물선 운동의 수평도달거리와 최대 높이 각도

정의^{1 2}

$\alpha$의 각도, $v_{0}$의 초기속도로 발사된 물체의 운동을 포물선 운동^{parabolic motion}이라 한다.

설명

투사체 운동^{projectile motion, 포사체 운동}이라고도 한다.

보통의 경우 공기저항 등의 외력은 무시하므로, 수평 방향으로는 등속운동이고 수직 방향으로는 자유낙하운동이다.

분석

$x$방향(수평방향)의 운동은 중력가속도와 무관하고, $y$방향(수직방향)의 운동은 중력가속도에 영향을 받는다

$$\begin{align*} x &= (v_o\cos\alpha)t && & y &= -\frac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t \\ v_{x} &= v_{0}\cos\alpha && & v_{y} &= -gt+v_{0}\sin\alpha \\ a_{x} &= 0 && & a_{y} &= -g \\ F_{x} &= 0 && & F_{y} &= -mg \end{align*}$$

수직, 수평방향의 위치에 관한 두 식을 가져오자.

$$\begin{align} x &= (v_{0}\cos\alpha)t \\ y &= -\frac{1}{2}gt^{2}+(v_{0}\sin\alpha)t \end{align}$$

두 식에 공통으로 포함된 $t$에 대해서 정리하면 $x, y, \alpha$만으로 이루어진 식을 얻는다. 다시말해 각도에 따른 포물선 운동의 수평거리, 수직높이에 대한 정보를 알 수 있다. $(1)$을 $t$에 대해 정리하면 $t=\dfrac{x}{v_{0}\cos\alpha}$이고, $(2)$에 대입하고 $x$에 대한 이차식으로 정리하면,

$$\begin{align} y &= -\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right)^{2}+(v_{0}\sin\alpha)\left(\frac{x}{v_{0}\cos\alpha}\right) \nonumber \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}x^{2}+\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)x \nonumber \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(x^{2}-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}x\right) \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(x^{2}-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}x+\frac{{v_{0}}^4\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha}{g^{2}}\right) +\frac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} \nonumber \\ &= -\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos ^{2}\alpha}\left(x-\frac{{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}\right)^{2} +\frac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} \nonumber \end{align}$$

최대 높이

위 식으로부터 포물선 운동 그래프의 꼭지점이 $\left(\dfrac{{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}, \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g} \right)$임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 발사각도 $\alpha$와 초기속도 $v_{0}$에 따른 최대 높이는

$$y = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin^{2}\alpha}{2g}$$

각도에 따른 최대 높이가 최대일 때(?)는 $\alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$인 경우에,

$$y = \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$$

수평 도달 거리

포물선 운동 그래프의 $0$이 아닌 근이 수평도달거리이다. $(3)$의 식을 보면,

$$\frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha}\left(x^{2}-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}x\right) = \frac{g}{2{v_{0}}^{2}\cos^{2}\alpha} x \left(x-\frac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g}\right)$$

따라서 수평 도달 거리는 다움과 같다.

$$\begin{equation} x = \dfrac{2{v_{0}}^{2}\sin\alpha \cos\alpha}{g} = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin2\alpha}{g} \end{equation}$$

위에서 $x$와 $y$에 관해서 정리한 두 식을 가져오자. 두 식에는 공통으로 시간 $t$가 들어가있다. 우리가 궁금한 질문에는 시간에 관련된 내용이 없다. 즉, 한 식을 $t$에 대해서 정리하여 다른 식에 대입하면 위에서 했던 질문에 대한 답을 구할 수 있을 것이다.

체공 시간

시간은 거리를 속도로 나누면 얻을 수 있으므로, 도달거리를 $R = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin2\alpha}{g}$이라 두면,

$$t = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin2\alpha}{g v_{0}\cos\alpha} = \dfrac{R}{v_{0}\cos\alpha}$$

연직 운동

$\alpha = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$이면 연직 방향으로 운동하는 물체를 기술한다.

• 수평도달거리: $x = \dfrac{{v_{0}}^{2}\sin \pi}{g} = 0$

• 수직 높이: $y = \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$

• 체공 시간: $t = \dfrac{v_{0}}{g}$

또한 최대 높이에서 떨어지는 물체는 자유낙하운동을 한다.