르장드르 미분 방정식의 급수해: 르장드르 다항식
정의1
다음의 미분방정식을 르장드르Legendre 미분방정식이라 한다.
$$ (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -2x\dfrac{dy}{dx}+l(l+1) y=0 $$
르장드르 미분방정식의 해를 르장드르 다항식이라 하고 흔히 $P_{l}(x)$로 표기한다. 처음 몇 개의 $l$에 따른 르장드르 다항식은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} P_{0}(x) =&\ 1 \\ P_{1}(x) =&\ x \\ P_2(x) =&\ \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) =&\ \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ P_{5}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x) \\ \vdots& \end{align*} $$
설명
르장드르 미분방정식은 다음과 같은 꼴로 소개되기도 한다.
$$ \dfrac{d}{dx}\left[ (1-x)^2 \dfrac{dy}{dx} \right] +l(l+1)y=0 $$
이는 스튀름-리우빌 이론Sturm-Liouville theory으로 표현한 것이다. 첫째항을 풀어서 정리하면 같은 식이 나온다. 르장드르 미분 방정식을 아래와 같이 일반화한 것을 버금 르장드르 미분 방정식associated Legendre differential equation이라 한다.
$$ (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -2x\dfrac{dy}{dx}+\left( \dfrac{-m^2}{1-x^2} +l(l+1) \right) y=0 $$
여기서 $m=0$이면 르장드르 미분 방정식이 된다.
르장드르 방정식은 물리학과 공학 등에서 등장하며 특히 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 볼 수 있다. 물리학과라면 전자기학에서 구면 좌표계에서의 전위를 계산할 때, 양자역학에서 구면좌표계에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 만날 수 있다. 풀이 과정이 길기 때문에 교재에서는 보통 로드리게스 공식으로 표현되는 해답만을 적어놓는 편이다. 사실 물리학과 학생들은 풀이가 너무너무 궁금한게 아니라면 몰라도 상관은 없다.
풀이
계수에 독립변수 $x$가 포함된 형태이며, 해가 멱급수 꼴이라고 가정하면 풀 수 있다.
$$ \begin{equation} (1-x^2)y^{\prime \prime} -2xy^{\prime}+l(l+1) y=0 \label{1} \end{equation} $$
르장드르 미분방정식의 해를 다음과 같다고 가정하자.
$$ y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n $$
이 때 $x=0$일 때 $y^{\prime \prime}$의 계수가 $(1-x^2)|_{x=0}=1\ne 0$이므로 $x_{0}=0$으로 둔다. 그럼 급수 해는
$$ \begin{equation} y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n \label{2} \end{equation} $$
해를 급수라고 가정했지만 풀이의 끝부분에서 사실 $y$의 항이 유한함을 알게 된다. 이제 $\eqref{1}$에 대입하기 위해 $y^{\prime}$와 $y^{\prime \prime}$를 구해보자.
$$ y^{\prime}=a_{1}+2a_2x+3a_{3}x^2+\cdots=\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1} $$
$$ y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+4\cdot 3 a_{4}x^2 +\cdots = \sum \limits_{n=2} n(n-1)a_{n}x^{n-2} $$
이제 $\eqref{1}$에 $y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}$를 대입하면
$$ (1-x^2)\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -2x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
첫째항의 계수 $(1-x^2)$의 괄호를 풀어서 정리하면
$$ \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x^2\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -2x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
$$ \implies \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -2\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
여기서 핵심은 $x$의 차수를 맞춰주는 것 이다. 나머지는 모두 $x^n$으로 표현된 반면 첫번째 급수만 $x^{n-2}$로 표현됐으므로 $n$ 대신 $n+2$를 대입하면
$$ \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -2\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0 $$
두번째 급수가 $x^2$항부터 시작하므로 나머지 급수에서 $n=0,1$인 항을 밖으로 빼주고 상수항은 상수항끼리, 1차항은 1차항끼리 묶어주면
$$ \left[ 2\cdot 1 a_2+l(l+1)a_{0} \right]+\left[ 3\cdot 2 a_{3}-2a_{1}+l(l+1)a_{1} \right]x \\ + \sum \limits_{n=2}^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n}-2na_{n}+l(l+1)a_{n} \right] x^n=0 $$
위의 식이 성립하려면 모든 계수가 $0$이어야 한다.
$$ 2\cdot 1 a_2+l(l+1)a_{0} =0 $$
$$ 3\cdot 2 a_{3}-2a_{1}+l(l+1)a_{1} =0 $$
$$ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n}-2na_{n}+l(l+1)a_{n}=0 $$
각각을 정리하면
$$ \begin{equation} a_2=-\dfrac{l(l+1)}{2 \cdot 1}a_{0} \label{3} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} a_{3}=-\dfrac{(l+2)(l-1)}{3\cdot 2} a_{1} \label{4} \end{equation} $$
$$ \begin{equation} a_{n+2}=-\dfrac{(l+n+1)(l-n)}{(n+2)(n+1)}a_{n} \label{5} \end{equation} $$
$\eqref{3}, \eqref{4}, \eqref{5}$를 이용하면 $a_{0}$와 $a_{1}$값만 알아도 모든 계수를 알 수 있다. $\eqref{3}$와 $\eqref{5}$로 짝수차수항의 계수를 구하면
$$ \begin{align*} a_{4} =&\ - \dfrac{(l+3)(l-2)}{ 4 \cdots 3}a_2 = \dfrac{l(l-2)(l+1)(l+3)}{4!}a_{0} \\ a_{6} =&\ -\dfrac{(l+5)(l-4)}{6\cdot5} a_{4} = -\dfrac{ l(l-2)(l-4)(l+1)(l+3)(l+5)}{6!} a_{0} \\ \vdots& \end{align*} $$
$n=2m\ (m=1,2,3,\cdots)$이라 하면
$$ a_{n}=a_{2m}=(-1)^m \dfrac{l(l-2)\cdots (l-2m+4)(l-2m+2)(l+1)(l+3)\cdots(l+2m-3)(l+2m-1)}{(2m)!}a_{0} $$
마찬가지로 $\eqref{4}$, $\eqref{5}$로 홀수차수항의 계수를 구하면
$$ \begin{align*} a_{5} =&\ -\dfrac{(l+4)(l-3)}{5\cdot 4}a_{3} = \dfrac{(l+2)(l+4)(l-1)(l-3)}{5!}a_{1} \\ a_{7} =&\ -\dfrac{(l+6)(l-5)}{7\cdot 6}a_{5} = -\dfrac{(l+2)(l+4)(l+6)(l-1)(l-3)(l-5)}{7!}a_{1} \\ \vdots& \end{align*} $$
$n=2m+1\ (m=1,2,3,\cdots)$이라 하면
$$ a_{n}=a_{2m+1}=(-1)^m\dfrac{(l+2)(l+4)\cdots(l+2m-2)(l+2m)(l-1)(l-3)\cdots(l-2m+3)(l-2m+1)}{(2m+1)!}a_{1} $$
이렇게 구한 계수를 $\eqref{2}$에 대입해서 해를 구하면
$$ \begin{align*} y =&\a_{0}+a_{1}x -\dfrac{l(l+1)}{2!}a_{0}x^2-\dfrac{(l+2)(l-1)}{3!}a_{1}x^3 + \dfrac{l(l-2)(l+1)(l+3)}{4!}a_{0}x^4+\dfrac{(l+2)(l+4)(l-1)(l-3)}{5!}a_{1}x^5 \\ &+ \cdots +(-1)^m \dfrac{l(l-2)\cdots (l-2m+4)(l-2m+2)(l+1)(l+3)\cdots(l+2m-3)(l+2m-1)}{(2m)!}a_{0}x^{2m} \\ &+ (-1)^m\dfrac{(l+2)(l+4)\cdots(l+2m-2)(l+2m)(l-1)(l-3)\cdots(l-2m+3)(l-2m+1)}{(2m+1)!}a_{1}x^{2m+1} +\cdots \end{align*} $$
$(m=1,2,3,\cdots)$짝수차수항은 $a_{0}$로, 홀수차수항은 $a_{1}$로 묶어서 정리하면
$$ \begin{align*} y =&\a_{0}\left[1-\dfrac{l(l+1)}{2!}x^2+\dfrac{l(l-2)(l+1)(l+3)}{4!}x^4 \right. \\ &\left.+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{l(l-2)\cdots (l-2m+4)(l-2m+2)(l+1)(l+3)\cdots(l+2m-3)(l+2m-1)}{(2m)!} x^{2m} \right] \\ &+ a_{1}\left[x- \dfrac{(l+2)(l-1)}{3!}x^3+\dfrac{(l+2)(l+4)(l-1)(l-3)}{5!}x^5 \right. \\ & \left. +\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(l+2)(l+4)\cdots(l+2m-2)(l+2m)(l-1)(l-3)\cdots(l-2m+3)(l-2m+1)}{(2m+1)!} x^{2m+1} \right] \end{align*} $$
첫번째 괄호를 $y_{0}$, 두번째 괄호를 $y_{1}$이라 하면 르장드르 방정식의 일반해는 다음과 같다.
$$ y=a_{0}y_{0}+a_{1}y_{1} $$
두 급수 $y_{0}$와 $y_{1}$은 비율 판정법에 의하면 $|x|<1$의 구간에서 수렴한다는 것을 알 수 있다. $\eqref{5}$에 의해 $\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=-\dfrac{(l+n+1)(l-n)}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{(n+l+1)(n-l)}{(n+2)(n+1)}$이므로 비율 판정법을 쓰면
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(n+l+1)(n-l)}{(n+2)(n+1)}x^2=x^2<1 $$
$$ \implies -1<x<1 $$
하지만 많은 문제에서 $x=\cos \theta$, $l$은 음이 아닌 정수의 형태로 식이 나타나고 모든 $\theta$에 대해 수렴하는 해를 얻고자 한다. 즉, $x=\pm 1$에서도 수렴하는 해를 찾는 것이 목표다.다행히 $l$이 정수일 때는 원하는 해가 존재하는데 이때 $l$의 값에 따라서 반드시 $y_{0}, y_{1}$ 둘 중 하나의 해만 존재한다. $l$이 $0$이거나 짝수일 때는 $y_{1}$이 발산하고, $y_{0}$은 짝수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. $l$이 홀수이면 $y_{0}$가 발산하고, $y_{1}$은 홀수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. 표로 정리하면 아래와 같다.
| $l$값 | $y_{0}$ | $y_{1}$ | 방정식의 해 |
|---|---|---|---|
| $0$이거나 짝수 | 유한항의 다항식 | 발산 | $y=a_{0}y_{0}$ |
| 홀수 | 발산 | 유한항의 다항식 | $y=a_{1}y_{1}$ |
Case 1. $l$이 $0$이거나 짝수
$l=0$일때, 2차항부터 $l$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{0}=1$
$l=2$일때, 4차항부터 $(l-2)$를 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{0}=1-3x^2$
$l=4$일때, 6차항부터 $(l-4)$를 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{0}= 1-10x^2+\dfrac{35}{3}x^4$
그리고 $l=0$일 때 $x^2=1$에서 $y_{1}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots$인데 이는 적분 판정법에 의해 발산한다. 다른 짝수일 때도 마찬가지다. 따라서 $l$이 $0$이거나 짝수일 때는 해가 짝수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 $y_{0}$의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다.
Case 2. $l$이 홀수
짝수일때와 반대의 결과가 나타난다.
$l=1$일때, 3차항부터 $(l-1)$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{1}=x$
$l=3$일때, 5차항부터 $(l-3)$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{1}=x-\dfrac{5}{3}x^3$
$l=5$일때, 7차항부터 $(l-5)$을 인수로 가져 전부 $0$이 되므로 $y_{1}=x-\dfrac{14}{3}x^3+\dfrac{21}{5}x^5$
$l=1$일 때 $x^2=1$에서 $y_{0}$는 발산하고 다른 홀수일 때도 마찬가지다. 따라서 $l$이 홀수일 때는 해가 홀수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 $y_{1}$의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다.
그리고 $l$이 음수인 경우는 $l$이 0이 아닌 정수인 경우와 같다는 것을 $y_{0}$과 $y_{1}$을 살펴보면 알 수 있다. 예를 들어 $l=2$인 경우와 $l=-3$인 경우가 같고, $l=1$인 경우와 $l=-2$인 경우가 같다. 따라서 $l$이 음이 아닌 정수에 대해서만 생각해주면 된다. $a_{0}$와 $a_{1}$의 값을 잘 선택하여 $x=1$일 때 해가 $y(x)=1$이 되도록 만들면 이를 르장드르 다항식Legendre polynomial 이라 하고 $P_{l}(x)$라 쓴다. 처음 몇 개의 르장드르 다항식은 아래와 같다.
$$ \begin{align*} P_{0}(x) =&\ 1 \\ P_{1}(x) =&\ x \\ P_2(x) =&\ \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) =&\ \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ P_{5}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x) \end{align*} $$
위 결과는 로드리게스 공식Rodrigues’ formula으로 바로 얻을 수도 있다.
■
Mary L. Boas, 수리물리학(Mathematical Methods in the Physical Sciences, 최준곤 역) (3rd Edition, 2008), p577-580 ↩︎