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르장드르 미분 방정식의 급수해: 르장드르 다항식 📂상미분방정식

르장드르 미분 방정식의 급수해: 르장드르 다항식

정의1

다음의 미분방정식을 르장드르Legendre 미분방정식이라 한다.

(1−x2)d2ydx2−2xdydx+l(l+1)y=0 (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -2x\dfrac{dy}{dx}+l(l+1) y=0

르장드르 미분방정식의 해를 르장드르 다항식이라 하고 흔히 Pl(x)P_{l}(x)로 표기한다. 처음 몇 개의 ll에 따른 르장드르 다항식은 다음과 같다.

P0(x)= 1P1(x)= xP2(x)= 12(3x2−1)P3(x)= 12(5x3−3x)P4(x)= 18(35x4−30x2+3)P5(x)= 18(63x5−70x3+15x)⋮ \begin{align*} P_{0}(x) =&\ 1 \\ P_{1}(x) =&\ x \\ P_2(x) =&\ \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) =&\ \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ P_{5}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x) \\ \vdots& \end{align*}

설명

르장드르 미분방정식은 다음과 같은 꼴로 소개되기도 한다.

ddx[(1−x)2dydx]+l(l+1)y=0 \dfrac{d}{dx}\left[ (1-x)^2 \dfrac{dy}{dx} \right] +l(l+1)y=0

이는 스튀름-리우빌 이론Sturm-Liouville theory으로 표현한 것이다. 첫째항을 풀어서 정리하면 같은 식이 나온다. 르장드르 미분 방정식을 아래와 같이 일반화한 것을 버금 르장드르 미분 방정식associated Legendre differential equation이라 한다.

(1−x2)d2ydx2−2xdydx+(−m21−x2+l(l+1))y=0 (1-x^2)\dfrac{d^2 y}{dx^2} -2x\dfrac{dy}{dx}+\left( \dfrac{-m^2}{1-x^2} +l(l+1) \right) y=0

여기서 m=0m=0이면 르장드르 미분 방정식이 된다.

르장드르 방정식은 물리학과 공학 등에서 등장하며 특히 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 볼 수 있다. 물리학과라면 전자기학에서 구면 좌표계에서의 전위를 계산할 때, 양자역학에서 구면좌표계에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 만날 수 있다. 풀이 과정이 길기 때문에 교재에서는 보통 로드리게스 공식으로 표현되는 해답만을 적어놓는 편이다. 사실 물리학과 학생들은 풀이가 너무너무 궁금한게 아니라면 몰라도 상관은 없다.

풀이

계수에 독립변수 xx가 포함된 형태이며, 해가 멱급수 꼴이라고 가정하면 풀 수 있다.

(1−x2)y′′−2xy′+l(l+1)y=0 \begin{equation} (1-x^2)y^{\prime \prime} -2xy^{\prime}+l(l+1) y=0 \label{1} \end{equation}

르장드르 미분방정식의 해를 다음과 같다고 가정하자.

y=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯=∑n=0∞an(x−x0)n y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n

이 때 x=0x=0일 때 y′′y^{\prime \prime}의 계수가 (1−x2)∣x=0=1≠0(1-x^2)|_{x=0}=1\ne 0이므로 x0=0x_{0}=0으로 둔다. 그럼 급수 해는

y=a0+a1x+a2x2+⋯=∑n=0∞anxn \begin{equation} y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots=\sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n \label{2} \end{equation}

해를 급수라고 가정했지만 풀이의 끝부분에서 사실 yy의 항이 유한함을 알게 된다. 이제 (1)\eqref{1}에 대입하기 위해 y′y^{\prime}와 y′′y^{\prime \prime}를 구해보자.

y′=a1+2a2x+3a3x2+⋯=∑n=1∞nanxn−1 y^{\prime}=a_{1}+2a_2x+3a_{3}x^2+\cdots=\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}

y′′=2a2+3⋅2a3x+4⋅3a4x2+⋯=∑n=2n(n−1)anxn−2 y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+4\cdot 3 a_{4}x^2 +\cdots = \sum \limits_{n=2} n(n-1)a_{n}x^{n-2}

이제 (1)\eqref{1}에 y,y′,y′′y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}를 대입하면

(1−x2)∑n=2∞n(n−1)anxn−2−2x∑n=1∞nanxn−1+l(l+1)∑n=0∞anxn=0 (1-x^2)\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -2x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

첫째항의 계수 (1−x2)(1-x^2)의 괄호를 풀어서 정리하면

∑n=2∞n(n−1)anxn−2−x2∑n=2∞n(n−1)anxn−2−2x∑n=1∞nanxn−1+l(l+1)∑n=0∞anxn=0 \sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -x^2\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -2x\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n-1}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

  ⟹  ∑n=2∞n(n−1)anxn−2−∑n=2∞n(n−1)anxn−2∑n=1∞nanxn+l(l+1)∑n=0∞anxn=0 \implies \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -2\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

여기서 핵심은 xx의 차수를 맞춰주는 것 이다. 나머지는 모두 xnx^n으로 표현된 반면 첫번째 급수만 xn−2x^{n-2}로 표현됐으므로 nn 대신 n+2n+2를 대입하면

∑n=0∞(n+2)(n+1)an+2xn−∑n=2∞n(n−1)anxn−2∑n=1∞nanxn+l(l+1)∑n=0∞anxn=0 \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\sum \limits_{n=2}^\infty n(n-1)a_{n}x^{n} -2\sum \limits_{n=1}^\infty na_{n}x^{n}+l(l+1) \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0

두번째 급수가 x2x^2항부터 시작하므로 나머지 급수에서 n=0,1n=0,1인 항을 밖으로 빼주고 상수항은 상수항끼리, 1차항은 1차항끼리 묶어주면

[2⋅1a2+l(l+1)a0]+[3⋅2a3−2a1+l(l+1)a1]x+∑n=2∞[(n+2)(n+1)an+2−n(n+1)an−2nan+l(l+1)an]xn=0 \left[ 2\cdot 1 a_2+l(l+1)a_{0} \right]+\left[ 3\cdot 2 a_{3}-2a_{1}+l(l+1)a_{1} \right]x \\ + \sum \limits_{n=2}^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n}-2na_{n}+l(l+1)a_{n} \right] x^n=0

위의 식이 성립하려면 모든 계수가 00이어야 한다.

2⋅1a2+l(l+1)a0=0 2\cdot 1 a_2+l(l+1)a_{0} =0

3⋅2a3−2a1+l(l+1)a1=0 3\cdot 2 a_{3}-2a_{1}+l(l+1)a_{1} =0

(n+2)(n+1)an+2−n(n+1)an−2nan+l(l+1)an=0 (n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n+1)a_{n}-2na_{n}+l(l+1)a_{n}=0

각각을 정리하면

a2=−l(l+1)2⋅1a0 \begin{equation} a_2=-\dfrac{l(l+1)}{2 \cdot 1}a_{0} \label{3} \end{equation}

a3=−(l+2)(l−1)3⋅2a1 \begin{equation} a_{3}=-\dfrac{(l+2)(l-1)}{3\cdot 2} a_{1} \label{4} \end{equation}

an+2=−(l+n+1)(l−n)(n+2)(n+1)an \begin{equation} a_{n+2}=-\dfrac{(l+n+1)(l-n)}{(n+2)(n+1)}a_{n} \label{5} \end{equation}

(3),(4),(5)\eqref{3}, \eqref{4}, \eqref{5}를 이용하면 a0a_{0}와 a1a_{1}값만 알아도 모든 계수를 알 수 있다. (3)\eqref{3}와 (5)\eqref{5}로 짝수차수항의 계수를 구하면

a4= −(l+3)(l−2)4⋯3a2=l(l−2)(l+1)(l+3)4!a0a6= −(l+5)(l−4)6⋅5a4=−l(l−2)(l−4)(l+1)(l+3)(l+5)6!a0⋮ \begin{align*} a_{4} =&\ - \dfrac{(l+3)(l-2)}{ 4 \cdots 3}a_2 = \dfrac{l(l-2)(l+1)(l+3)}{4!}a_{0} \\ a_{6} =&\ -\dfrac{(l+5)(l-4)}{6\cdot5} a_{4} = -\dfrac{ l(l-2)(l-4)(l+1)(l+3)(l+5)}{6!} a_{0} \\ \vdots& \end{align*}

n=2m (m=1,2,3,⋯ )n=2m\ (m=1,2,3,\cdots)이라 하면

an=a2m=(−1)ml(l−2)⋯(l−2m+4)(l−2m+2)(l+1)(l+3)⋯(l+2m−3)(l+2m−1)(2m)!a0 a_{n}=a_{2m}=(-1)^m \dfrac{l(l-2)\cdots (l-2m+4)(l-2m+2)(l+1)(l+3)\cdots(l+2m-3)(l+2m-1)}{(2m)!}a_{0}

마찬가지로 (4)\eqref{4}, (5)\eqref{5}로 홀수차수항의 계수를 구하면

a5= −(l+4)(l−3)5⋅4a3=(l+2)(l+4)(l−1)(l−3)5!a1a7= −(l+6)(l−5)7⋅6a5=−(l+2)(l+4)(l+6)(l−1)(l−3)(l−5)7!a1⋮ \begin{align*} a_{5} =&\ -\dfrac{(l+4)(l-3)}{5\cdot 4}a_{3} = \dfrac{(l+2)(l+4)(l-1)(l-3)}{5!}a_{1} \\ a_{7} =&\ -\dfrac{(l+6)(l-5)}{7\cdot 6}a_{5} = -\dfrac{(l+2)(l+4)(l+6)(l-1)(l-3)(l-5)}{7!}a_{1} \\ \vdots& \end{align*}

n=2m+1 (m=1,2,3,⋯ )n=2m+1\ (m=1,2,3,\cdots)이라 하면

an=a2m+1=(−1)m(l+2)(l+4)⋯(l+2m−2)(l+2m)(l−1)(l−3)⋯(l−2m+3)(l−2m+1)(2m+1)!a1 a_{n}=a_{2m+1}=(-1)^m\dfrac{(l+2)(l+4)\cdots(l+2m-2)(l+2m)(l-1)(l-3)\cdots(l-2m+3)(l-2m+1)}{(2m+1)!}a_{1}

이렇게 구한 계수를 (2)\eqref{2}에 대입해서 해를 구하면

y=\a0+a1x−l(l+1)2!a0x2−(l+2)(l−1)3!a1x3+l(l−2)(l+1)(l+3)4!a0x4+(l+2)(l+4)(l−1)(l−3)5!a1x5+⋯+(−1)ml(l−2)⋯(l−2m+4)(l−2m+2)(l+1)(l+3)⋯(l+2m−3)(l+2m−1)(2m)!a0x2m+(−1)m(l+2)(l+4)⋯(l+2m−2)(l+2m)(l−1)(l−3)⋯(l−2m+3)(l−2m+1)(2m+1)!a1x2m+1+⋯ \begin{align*} y =&\a_{0}+a_{1}x -\dfrac{l(l+1)}{2!}a_{0}x^2-\dfrac{(l+2)(l-1)}{3!}a_{1}x^3 + \dfrac{l(l-2)(l+1)(l+3)}{4!}a_{0}x^4+\dfrac{(l+2)(l+4)(l-1)(l-3)}{5!}a_{1}x^5 \\ &+ \cdots +(-1)^m \dfrac{l(l-2)\cdots (l-2m+4)(l-2m+2)(l+1)(l+3)\cdots(l+2m-3)(l+2m-1)}{(2m)!}a_{0}x^{2m} \\ &+ (-1)^m\dfrac{(l+2)(l+4)\cdots(l+2m-2)(l+2m)(l-1)(l-3)\cdots(l-2m+3)(l-2m+1)}{(2m+1)!}a_{1}x^{2m+1} +\cdots \end{align*}

(m=1,2,3,⋯ )(m=1,2,3,\cdots)짝수차수항은 a0a_{0}로, 홀수차수항은 a1a_{1}로 묶어서 정리하면

y=\a0[1−l(l+1)2!x2+l(l−2)(l+1)(l+3)4!x4+∑m=3∞(−1)ml(l−2)⋯(l−2m+4)(l−2m+2)(l+1)(l+3)⋯(l+2m−3)(l+2m−1)(2m)!x2m]+a1[x−(l+2)(l−1)3!x3+(l+2)(l+4)(l−1)(l−3)5!x5+∑m=3∞(−1)m(l+2)(l+4)⋯(l+2m−2)(l+2m)(l−1)(l−3)⋯(l−2m+3)(l−2m+1)(2m+1)!x2m+1] \begin{align*} y =&\a_{0}\left[1-\dfrac{l(l+1)}{2!}x^2+\dfrac{l(l-2)(l+1)(l+3)}{4!}x^4 \right. \\ &\left.+\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m \dfrac{l(l-2)\cdots (l-2m+4)(l-2m+2)(l+1)(l+3)\cdots(l+2m-3)(l+2m-1)}{(2m)!} x^{2m} \right] \\ &+ a_{1}\left[x- \dfrac{(l+2)(l-1)}{3!}x^3+\dfrac{(l+2)(l+4)(l-1)(l-3)}{5!}x^5 \right. \\ & \left. +\sum \limits_{m=3}^\infty (-1)^m\dfrac{(l+2)(l+4)\cdots(l+2m-2)(l+2m)(l-1)(l-3)\cdots(l-2m+3)(l-2m+1)}{(2m+1)!} x^{2m+1} \right] \end{align*}

첫번째 괄호를 y0y_{0}, 두번째 괄호를 y1y_{1}이라 하면 르장드르 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y=a0y0+a1y1 y=a_{0}y_{0}+a_{1}y_{1}

두 급수 y0y_{0}와 y1y_{1}은 비율 판정법에 의하면 ∣x∣<1|x|<1의 구간에서 수렴한다는 것을 알 수 있다. (5)\eqref{5}에 의해 an+2an=−(l+n+1)(l−n)(n+2)(n+1)=(n+l+1)(n−l)(n+2)(n+1)\dfrac{a_{n+2}}{a_{n}}=-\dfrac{(l+n+1)(l-n)}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{(n+l+1)(n-l)}{(n+2)(n+1)}이므로 비율 판정법을 쓰면

lim⁡n→∞(n+l+1)(n−l)(n+2)(n+1)x2=x2<1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{(n+l+1)(n-l)}{(n+2)(n+1)}x^2=x^2<1

  ⟹  −1<x<1 \implies -1<x<1

하지만 많은 문제에서 x=cos⁡θx=\cos \theta, ll은 음이 아닌 정수의 형태로 식이 나타나고 모든 θ\theta에 대해 수렴하는 해를 얻고자 한다. 즉, x=±1x=\pm 1에서도 수렴하는 해를 찾는 것이 목표다.다행히 ll이 정수일 때는 원하는 해가 존재하는데 이때 ll의 값에 따라서 반드시 y0,y1y_{0}, y_{1} 둘 중 하나의 해만 존재한다. ll이 00이거나 짝수일 때는 y1y_{1}이 발산하고, y0y_{0}은 짝수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. ll이 홀수이면 y0y_{0}가 발산하고, y1y_{1}은 홀수차수항만 가진 유한항의 다항식이 된다. 표로 정리하면 아래와 같다.

ll값y0y_{0}y1y_{1}방정식의 해
00이거나 짝수유한항의 다항식발산y=a0y0y=a_{0}y_{0}
홀수발산유한항의 다항식y=a1y1y=a_{1}y_{1}

  • Case 1. ll이 00이거나 짝수

    • l=0l=0일때, 2차항부터 ll을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y0=1y_{0}=1

    • l=2l=2일때, 4차항부터 (l−2)(l-2)를 인수로 가져 전부 00이 되므로 y0=1−3x2y_{0}=1-3x^2

    • l=4l=4일때, 6차항부터 (l−4)(l-4)를 인수로 가져 전부 00이 되므로 y0=1−10x2+353x4y_{0}= 1-10x^2+\dfrac{35}{3}x^4

    그리고 l=0l=0일 때 x2=1x^2=1에서 y1=1+13+15+⋯y_{1}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots인데 이는 적분 판정법에 의해 발산한다. 다른 짝수일 때도 마찬가지다. 따라서 ll이 00이거나 짝수일 때는 해가 짝수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 y0y_{0}의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다.

  • Case 2. ll이 홀수

    짝수일때와 반대의 결과가 나타난다.

    • l=1l=1일때, 3차항부터 (l−1)(l-1)을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y1=xy_{1}=x

    • l=3l=3일때, 5차항부터 (l−3)(l-3)을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y1=x−53x3y_{1}=x-\dfrac{5}{3}x^3

    • l=5l=5일때, 7차항부터 (l−5)(l-5)을 인수로 가져 전부 00이 되므로 y1=x−143x3+215x5y_{1}=x-\dfrac{14}{3}x^3+\dfrac{21}{5}x^5

    l=1l=1일 때 x2=1x^2=1에서 y0y_{0}는 발산하고 다른 홀수일 때도 마찬가지다. 따라서 ll이 홀수일 때는 해가 홀수차수항만을 가진 유한항의 다항식이 된다. 즉 급수 y1y_{1}의 특정항까지만 남은 형태의 해를 얻는다.

그리고 ll이 음수인 경우는 ll이 0이 아닌 정수인 경우와 같다는 것을 y0y_{0}과 y1y_{1}을 살펴보면 알 수 있다. 예를 들어 l=2l=2인 경우와 l=−3l=-3인 경우가 같고, l=1l=1인 경우와 l=−2l=-2인 경우가 같다. 따라서 ll이 음이 아닌 정수에 대해서만 생각해주면 된다. a0a_{0}와 a1a_{1}의 값을 잘 선택하여 x=1x=1일 때 해가 y(x)=1y(x)=1이 되도록 만들면 이를 르장드르 다항식Legendre polynomial 이라 하고 Pl(x)P_{l}(x)라 쓴다. 처음 몇 개의 르장드르 다항식은 아래와 같다.

P0(x)= 1P1(x)= xP2(x)= 12(3x2−1)P3(x)= 12(5x3−3x)P4(x)= 18(35x4−30x2+3)P5(x)= 18(63x5−70x3+15x) \begin{align*} P_{0}(x) =&\ 1 \\ P_{1}(x) =&\ x \\ P_2(x) =&\ \dfrac{1}{2}(3x^2-1) \\ P_{3}(x) =&\ \dfrac{1}{2}(5x^3-3x) \\ P_{4}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) \\ P_{5}(x) =&\ \dfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x) \end{align*}

위 결과는 로드리게스 공식Rodrigues’ formula으로 바로 얻을 수도 있다.

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  1. Mary L. Boas, 수리물리학(Mathematical Methods in the Physical Sciences, 최준곤 역) (3rd Edition, 2008), p577-580 ↩︎