📂상미분방정식

급수 해를 이용한 미분 방정식의 풀이

설명

계수가 상수인 미분 방정식은 변수 분리법을 쓰거나 적분인자법을 사용하거나 하는 등 비교적 쉽게 풀어낼 수 있다. 그런데 아래와 같이 계수에 독립변수가 포함된 미분 방정식은 간단하게 풀 수가 없다.

$$\begin{equation} P(x)\dfrac{d^2 y}{dx^2} + Q(x)\dfrac{dy}{dx}+R(x)y=0 \label{1}\end{equation}$$

이때 $P$, $Q$, $R$은 다항식이고 공통 인수가 없다고 가정한다. 위의 꼴을 가진 방정식으로는

베셀 방정식^{Bessel equation}

$$x^2 y^{\prime \prime} +xy^{\prime}+(x^2-\nu ^2)y=0,\quad \nu \text{ is constant}$$

르장드르 방정식^{Legendre equation}

$$(1-x^2)y^{\prime \prime}-2xy^{\prime}+l(l+1)y=0,\quad l \text{ is constant}$$

등이 있다. 이러한 미분방정식들을 풀 때는 멱급수 형태의 해를 찾는 것을 목표로 한다.

정의¹

$\eqref{1}$에서 $P(x_{0}) \ne 0$인 $x_{0}$를 보통점^{ordinary point}이라 한다. $P$가 연속이기 때문에 $P(x) \ne 0$인 $x_{0}$를 포함하는 열린 구간이 존재한다. 이때 우리의 목적은 보통점 $x_{0}$ 근방에서 $\eqref{1}$의 해가 되는 멱급수 해를 찾는 것이다. 즉 $\eqref{1}$의 해가

$$y=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_2(x-x_{0})^2+\cdots = \sum \limits _{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^n$$

꼴의 멱급수이고 수렴 구간 $|x-x_{0}| < \rho$ 내에서 수렴한다고 가정하고 문제를 푼다. 이런 방법으로 계수에 독립변수 $x$가 있는 어려운 미분 방정식을 풀어낼 수 있다.

반면 $P(x_{0})=0$인 $x_{0}$는 특이점^{singular point} 이라 한다. 특이점 중에서

$$\lim \limits_{x\rightarrow x_{0}}(x-x_{0})\frac{Q(x)}{P(x)} < \infty\quad \mathrm{and}\quad \lim \limits_{x\rightarrow x_{0}} (x-x_{0})^{2}\frac{R(x) }{P(x)}<\infty$$

를 만족하는 특이점을 정칙특이점^{regular singular point} 이라한다. 정칙특이점이 아니면 비정칙특이점^{irregular singular point} 이라한다. $x_{0}$가 정칙특이점일 경우 해를 다음과 같다고 가정하고 풀이를 시작한다.

$$y=\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+s}$$

이러한 풀이법을 프로베니우스 메소드^{Frobenius method}라고 한다.

예제

$y^{\prime \prime}+y=0$, $-\infty < x < \infty$의 급수해를 구하라.

내용은 길지만 어렵지 않으니 천천히 읽어보자. 예제로 주어진 방정식은 굳이 급수해로 풀지 않아도 충분히 쉽게 풀 수 있는 방정식이지만 급수해를 통한 풀이법을 연습한다는 것에 의미를 두자.우선 $y^{\prime \prime}+y=0$은 $P(x)=1$, $Q(x)=0$, $R(x)=1$인 경우다. 따라서 모든 점이 보통점인데 식을 간단히 하기 위해 $x_{0}=0$을 택하자. 아래의 멱급수가 $|x| < \rho$에서 수렴하는 주어진 미분 방정식의 해라고 가정하자.

$$y=a_{0}+a_{1}x+a_2x^2+\cdots = \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n$$

미분 방정식에 대입하기 위해 $y^{\prime \prime}$를 구하면

$$y^{\prime \prime}=2a_2+3\cdot 2 a_{3} x + \cdots +n(n-1)a_{n}x^{n-2}+\cdots = \sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2}$$

$y$와 $y^{\prime \prime}$을 주어진 미분 방정식에 대입하면

$$\sum \limits_{n=2} ^\infty n(n-1)a_{n}x^{n-2} + \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n=0$$

급수해 풀이법에서 중요한 점은 $x$의 차수를 맞춰주는 것이다. 첫째항의 급수에 $n$대신 $n+2$를 대입하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && \sum \limits_{n=0} ^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} + \sum \limits_{n=0}^\infty a_{n}x^n&=0 \\ \implies && \sum \limits_{n=0} ^\infty \left[ (n+2)(n+1)a_{n+2}+ a_{n} \right] x^{n}&=0 \end{align*}$$

멱급수의 성질로부터, 위 식이 만족하려면 모든 계수가 $0$이어야한다. 따라서 다음의 식을 얻는다.

$$\begin{align*} && (n+2)(n+1)a_{n+2}+ a_{n}&=0 \\ \implies && (n+2)(n+1)a_{n+2}&=-a_{n} \\ \implies&& a_{n+2}&=\dfrac{-1}{(n+2)(n+1)} a_{n} \end{align*}$$

위와 같이 앞뒤 계수의 관계를 설명하는 식을 점화식^{recurrence relation, 재귀식}이라 한다. 점화식으로부터 각 항의 계수를 구할 수 있다. $n+2$번째 계수는 $n$번째 계수로부터 구할 수 있으므로 처음 두 계수인 $a_{0}, a_{1}$만 알면 모든 계수를 알 수 있다. 따라서 급수를 크게 $a_{0}$와 $a_{1}$로 묶여지는 두 부분으로 나눌 수 있다. 짝수인 $n$에 대해서 일반적으로 나타내면 $n=2k(k=1,2,\dots)$에 대해서 다음과 같다.

$$\begin{align*} a_2 &=\dfrac{-1}{2\cdot 1}a_{0}=\dfrac{-1}{2!}a_{0} \\ a_{4} &=\dfrac{-1}{4\cdot 3}{a_2}=\dfrac{-1}{4\cdot 3}\dfrac{-1}{2!}a_{0}=\dfrac{1}{4!}a_{0} \\ a_{6}&=\dfrac{-1}{6!}a_{0} \\ &\vdots \\ a_{n} &=a_{2k}=\dfrac{(-1)^k}{(2k)!}a_{0} \end{align*}$$

홀수인 $n$에 대해서 일반적으로 나타내면 $n=2k+1(k=1,2,\dots)$에 대해서 다음과 같다.

$$\begin{align*} a_{3} &=\dfrac{-1}{3\cdot 2}a_{1}=\dfrac{-1}{3!}a_{1} \\ a_{5}&=\dfrac{-1}{5 \cdot 4}a_{3}=\dfrac{-1}{5\cdot 4}\dfrac{-1}{3!}a_{0}=\dfrac{1}{5!}a_{1} \\ a_{7}&=\dfrac{-1}{7!}a_{1} \\ &\vdots \\ a_{n} &=a_{2k+1}=\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}a_{1} \end{align*}$$

두 결과를 $y$에 대입하고 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} y&= a_{0}+a_{1}x-\dfrac{a_{0}}{2!}x^2-\dfrac{a_{1}}{3!}x^3+\cdots +\dfrac{(-1)^na_{0}}{(2n)!}x^{2n}+\dfrac{ (-1)^{n} a_{1}}{(2n+1)!} x^{2n+1} +\cdots \\ &=a_{0}\left[ 1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+\cdots + \dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} + \cdots \right] + a_{1} \left[ x-\dfrac{1}{3!}x^3 +\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots +\dfrac{ (-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} +\cdots \right] \\ &= a_{0} \sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n } {(2n)!} x^{2n}+a_{1}\sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{align*}$$

주어진 2계 미분 방정식의 두 해와 일반해를 구했다. 일반해는 아래의 독립적인 두 해의 선형 결합으로 나타난다. $$y_{1}(x)=\sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n } {(2n)!} x^{2n},\quad y_{2}(x)=\sum \limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

비율 판정법을 사용하면 두 급수 $y_{1}, y_{2}$가 모든 $x$에 대해 수렴한다는 것을 알 수 있다. 또한 위의 두 급수는 정확히 $\cos$과 $\sin$의 테일러 급수와 같다. 즉 $y=a_{0}\cos x+a_{1}\sin x$인데 이는 계수가 상수인 2계 미분방정식의 풀이를 통해 구한 해와 같다.

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