📂해석개론

급수, 무한급수

정의¹

수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 주어졌다고 하자. 그리고 아래의 표기법을 정의하자.

$$ \sum \limits_{n=p}^{q} a_{n} = a_{p} + a_{p+1} + \cdots + a_{q}\quad (p \le q) $$

$\left\{ a_{n} \right\}$의 부분합^{partial sum} $s_{n}$을 다음과 같이 정의한다.

$$ s_{n} = \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} $$

그러면 $s_{n}$들의 수열 $\left\{ s_{n} \right\}$을 생각할 수 있다. 수열 $\left\{ s_{n} \right\}$의 극한을 $\left\{ a_{n} \right\}$의 무한 급수^{infinite series} 혹은 간단히 급수라고 하고 다음과 같이 표기한다.

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \lim \limits_{n \to \infty} s_{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} $$

$\left\{ s_{n} \right\}$이 $s$로 수렴하면 다음과 같이 나타내고 급수가 수렴한다고 한다.

$$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s $$

$\left\{ s_{n} \right\}$이 수렴하지 않으면 급수가 발산한다고 한다. 급수가 발산하는 경우에,

• 모든 $M \in \mathbb{R}$ 에 대해 $n \ge N \implies s_{n} > M$을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \infty $$ 로 표기한다.

• 모든 $M \in \mathbb{R}$ 에 대해 $n \ge N \implies x_{n} < M$을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $$ \sum \limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = -\infty $$ 로 표기한다.

설명

급수는 무한히 더한다는 애매모호한 개념을 수학적으로 엄밀하게 정의한 것이다. $\sum a_{n}$과 같이 간단하게 표기하기도 한다.