📂전자기학

속박전하와 편극된 물체가 만드는 전기장

속박전하¹

외부 전기장에 의해서 물체의 쌍극자들이 한 방향으로 정렬하고 이로 인해 물체는 편극되고, 쌍극자 모멘트 $\mathbf{p}$를 가진다. 쌍극자 모멘트들이 만들어내는 전기장은 다음과 같이 계산한다. 쌍극자 모멘트 $\mathbf{p}$가 만드는 전위는 다음과 같다.

$$ \begin{equation} V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{ \mathbf{p} \cdot \crH } {\cR ^2} \label{1} \end{equation} $$

$\mathbf{r}^{\prime}$은 원천점의 위치벡터, $\mathbf{r}$은 관찰점의 위치벡터, $\bcR=\mathbf{r} - \mathbf{r}^{\prime}$는 분리벡터이다. 편극밀도 $\mathbf{P}$는 단위 부피 당 쌍극자 모멘트이므로

$$ \mathbf{P}=\dfrac{\mathbf{p}}{d \tau^{\prime}} $$

이를 $\eqref{1}$에 대입하면

$$ V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \displaystyle \int _\mathcal{V} \dfrac{ \mathbf{P (\mathbf{r}^{\prime} ) \cdot \hat { \boldsymbol {\cR} } } }{\cR ^2} d \tau^{\prime} $$

여기서 $\nabla ^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) = \dfrac{ \crH } {\cR^2}$을 이용하면 위 식은 다음과 같다.

$$ V=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_{0}} \displaystyle \int _\mathcal{V} \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) d \tau^{\prime} $$

델 연산자가 포함된 곱셈규칙

$$ \nabla \cdot (f\mathbf{A}) = f(\nabla \cdot \mathbf{A}) + \mathbf{A} \cdot (\nabla f) $$

위의 곱셈 규칙을 이용하면

$$ \begin{align*} && \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{P} } {\cR} \right) =&\ \dfrac{1}{\cR} ( \nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) + \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) \\ \implies && \mathbf{P} \cdot \nabla^{\prime} \left( \dfrac{1}{\cR} \right) =&\ \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{P} } {\cR} \right) -\dfrac{1}{\cR} ( \nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) \end{align*} $$

이므로 이를 대입하면

$$ V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathcal{V} \nabla^{\prime} \cdot \left( \dfrac{ \mathbf{ P} }{\cR} \right) d\tau^{\prime} -\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{1}{\cR} (\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) d\tau^{\prime} $$

발산 정리

$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{ F} dV = \oint _\mathcal{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{ S} $$

여기서 첫째항에 발산 정리를 쓰면

$$ V = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \oint_\mathcal{S} \left( \dfrac{ \mathbf{ P} }{\cR} \right) \cdot d\mathbf{a}^{\prime} -\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int _\mathcal{V} \dfrac{1}{\cR} (\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} ) d\tau^{\prime} $$

단위면적의 법선벡터를 $\hat { \mathbf{n} }$이라고 하면 $\mathbf{P} \cdot d\mathbf{a}^{\prime}=\mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} } da^{\prime}$로 나타낼 수 있다. 여기서 $\mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} }$를 $\sigma_{b}$로 표기하고 속박 면전하 밀도^{bound surface charge density}라고 한다.

$$ \sigma_{b} = \mathbf{P} \cdot \hat{ \mathbf{n} } $$

마찬가지로 $-\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P}$를 $\rho_{b}$로 표기하고 속박 부피전하 밀도^{bound volume charge density}라고 한다.

$$ \rho_{b}=-\nabla^{\prime} \cdot \mathbf{P} $$

이제 편극밀도 $\mathbf{P}$에 의한 전위를 두 속박전하가 만들어내는 전위로 표현할 수 있다.

$$ V(\mathbf{r}) = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \oint_\mathcal{S} \dfrac{ \sigma_{b}} {\cR} da^{\prime}+\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_\mathcal{V} \dfrac{\rho_{b}}{\cR} d\tau^{\prime} $$

편극된 물체가 만드는 전위는 속박 부피전하 밀도 $\rho_{b}$와 속박 면전하 밀도 $\sigma_{b}$가 만들어내는 전위의 합과 같다.

특징

1. 속박전하를 모두 더한 알짜 전하량은 $0$이다. 전기적으로 중성인 유전체를 편극시키면 전하가 움직여 속박전하가 생기지만 여전히 알짜 전하량은 $0$이다.

2. 편극밀도가 고를 때 속박 부피전하 밀도는 $0$이다. $\rho_{b}=-\nabla \cdot \mathbf{P}$이므로 $\mathbf{P}$가 일정하다면 미분한 결과는 $0$이다.