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헤비사이드 계단 함수를 미분하면 디랙 델타 함수가 됨을 증명

정리

헤비사이드 계단 함수의 도함수는 디랙 델타 함수이다.

$$\dfrac{dH}{dx}=\delta (x)$$

이때 $H=H(x)$는 헤비사이드 계단 함수^{Heaviside step function} 혹은 단위 계단 함수^{unit step function}

$$H(x)=\begin{cases} 1 & x>0 \\ 0 & x \le 0 \end{cases}$$

디랙 델타 함수

아래의 두 조건을 만족하는 함수를 디랙 델타 함수라고 한다.

$$\begin{equation} \delta (x) = \begin{cases} 0, & x\neq 0 \\ \infty , & x=0 \end{cases} \label{condition1} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}{\delta (x) dx}=1 \label{condition2} \end{equation}$$

증명

$\dfrac{dH}{dx}$가 디랙 델타 함수가 될 두 조건을 만족하는지 확인해보는 것으로 증명한다.

조건 $\eqref{condition1}$

$H(x)$는 $x \neq 0$에서 상수함수 이므로 $\dfrac{dH}{dx}=0$이고$x=0$에서 접선이 $y$축과 평행한 수직선이므로 미분계수는 발산하여 $\dfrac{dH}{dx}=\infty$따라서 $$\dfrac{dH}{dx} = \begin{cases} \infty & x=0 \\ 0 & x \neq 0 \end{cases}$$

조건 $\eqref{condition2}$

$$\begin{align*} \int _{-\infty} ^{\infty} \dfrac{dH}{dx} dx &= \int_{-\infty} ^{\infty} dH \\ &= \left[ H \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= 1-0 =1 \end{align*}$$

$\dfrac{dH}{dx}$가 디랙 델타 함수가 될 두 조건을 모두 만족하므로 다음의 결과를 얻는다.

$$\dfrac{dH}{dx}=\delta (x)$$

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