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루트가 포함된 분수 유리화 빠르게 하기

공식

$${{ x } \over { \sqrt{a} \pm \sqrt{b} }} = {{ x \left( \sqrt{a} \mp \sqrt{b} \right) } \over { a - b }}$$

설명

분수의 유리화는 개념적으로는 쉽지만 분자 분모에 복잡한 항을 곱하고 정리하는 부분에서 계산이 많아져서 어렵다.

그러나 위의 공식을 활용하면 빠르고 간단하게, 계산실수를 최소한으로 줄이면서 유리화를 해낼 수 있다.핵심은 이러나 저러나 분모의 루트를 벗겨내기 위해 $( \alpha^2 - \beta^2 )$ 꼴을 만든다는 아이디어다.

예를 들어 $\displaystyle {{2} \over { \sqrt{5} - 1 }}$ 을 푼다고 하면 분자 분모에 $( \sqrt{5} +1 )$ 에 곱할 것임을 알고 있다. 그런데 분모는 어차피 $(5-1) = 4$ 가 될 것임을 알고 있는데 그걸 굳이 적는 것 자체가 노력과 시간의 낭비고, 분자엔 $( \sqrt{5} +1 )$ 가 올라갈 것을 알고 있기 때문에 그냥 한 방에 적으면 $\displaystyle {{2 ( \sqrt{5} + 1 )} \over { 4 } }$ 이 된다. 이제 약분해주면 $\displaystyle {{ \sqrt{5} + 1 } \over { 2 } }$ 을 얻는다.

이를 이용하면 $\displaystyle {{ \sqrt{2} - 1 } \over { \sqrt{2} + 1 }} = {{ \left( \sqrt{2} - 1 \right) \left( \sqrt{2} - 1 \right) } \over { 2 - 1 }} = 3 - 2 \sqrt{2}$ 와 같은 계산을 눈대중으로도 할 수 있게 된다.

아래의 예제들을 직접 풀어보며 공식이 언제든지 나올 수 있도록 몸에 익혀두도록 하자.

예제

(1)

$\displaystyle {{ \sqrt{2} } \over { \sqrt{16} + \sqrt{8} }}$ 을 유리화하라. (가능하다면 암산으로)

풀이

분자 분모에서 $\sqrt{2}$ 를 약분하면 $$\displaystyle {{ 1 } \over { \sqrt{8} + \sqrt{4} }} = {{ \sqrt{8} - \sqrt{4} } \over {4} } = {{ \sqrt{2} - 1 } \over {2} }$$

(2)

$\displaystyle {{4} \over { \sqrt{5} + \sqrt{7} }}$ 을 유리화하라.

포스트에서 소개된 공식은 딱히 분모의 순서에 상관없이 무조건 먹히지만, 음수가 나오면 귀찮기 때문에 항을 정리하는 게 좋다.

풀이

$\displaystyle {{4} \over { \sqrt{5} + \sqrt{7} }} = {{4} \over { \sqrt{7} + \sqrt{5} }} = {{4 ( \sqrt{7} - \sqrt{5} ) } \over {2} } = 2 ( \sqrt{7} - \sqrt{5} )$

(3)

$$\displaystyle s := { { 1 } \over { 1 + \sqrt{2} }} + { { 1 } \over { \sqrt{2} + \sqrt{3} }} + \cdots + { { 1 } \over { \sqrt{8} + 3 }} + { { 1 } \over { 3 + \sqrt{10} }}$$ 이라 하자. $s$ 를 구하라.

분모의 항이 루트 안에서 $1$ 씩만 차이가 나므로 유리화하면 반드시 $1$ 이 될 것이고, 분수꼴을 신경쓸 필요가 없다.

풀이

예를 들어 $${ { 1 } \over { \sqrt{2} + \sqrt{3} }} = { { 1 } \over { \sqrt{3} + \sqrt{2} }} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$ 이런 식으로 모두 분자로 올려주면 $$( \sqrt{2} - 1 ) + ( \sqrt{3} - \sqrt{2} ) + \cdots + (\sqrt{10} - 3 )$$ 항을 정리해주면 $s = \sqrt{10} - 1$ 을 얻는다.