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변수분리법을 사용하여 원통 좌표계에서 제트축에 무관한 라플라스 방정식의 풀이

정리

원기둥 좌표계에서 원통 대칭^{cylindrical symmetry}이 있을 때의 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$V(s,\phi) = A_{0} \ln s +B_{0} +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_{k} s^k ++ B_{k} s^{-k} )( C_{k}\cos k\phi + D_{k}\sin k\phi)$$

증명

단계 0

전위를 구할 때 경계 조건^{boundary condition}이 원통 좌표계로 표현하기 쉬운 경우라면 원통 좌표계에 대한 라플라스 방정식을 풀어야 한다. 원통 좌표계에서 라플라스 방정식이 아래와 같다. (참고1, 참고2)

$$\nabla ^2 V = \dfrac{1}{s} \dfrac{\partial }{ \partial s} \left( s\dfrac{\partial V}{\partial s} \right) + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{\partial ^2 V}{\partial \phi^2 } +\dfrac{\partial ^2 V }{\partial z^2 }=0$$

이 때 전위 $V$가 $z$에 무관한 함수라고 하자. 다시 말해 다른 값은 같고 $z$만 변할 때는 $V$의 값이 변하지 않는다는 가정이다. 그러면 $z$에 대한 $V$의 변화량이 $0$이고 이는 $\dfrac{\partial V}{\partial z}=0$을 뜻하므로 세번째 항이 사라진다.

$$\dfrac{1}{s} \dfrac{\partial }{ \partial s} \left( s\dfrac{\partial V}{\partial s} \right) + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{\partial ^2 V}{\partial \phi^2 } =0 \tag{1}$$

전위 $V(s,\phi)$가 변수 분리 가능한 함수라고 하자. $V$가 $s$만의 함수 $S(s)$와 $\phi$만의 함수 $\Phi (\phi)$의 곱으로 이루어져있다고 가정한다는 말이다. $V(s,\phi)=S(s) \Phi (\phi)$를 $(1)$에 대입하면 아래와 같다.

$$\dfrac{1}{s} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{d S}{d s} \right) \Phi + \dfrac{1}{s^2} \dfrac{d ^2 \Phi }{d \phi ^2 } S=0$$

양 변에 $\dfrac{s^2}{S \Phi}$를 곱해주면

$$\dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{d S}{d s} \right) + \dfrac{1}{\Phi} \dfrac{d ^2 \Phi }{d \phi ^2 } =0$$

이 방정식이 성립하려면 첫째항 둘째항이 모두 상수여야한다. 왜냐하면 $s$의 값이 바뀌면 첫째항만 영향을 받고 둘째항은 $s$와 무관하기 때문에 영향을 받지 않는다. 그럼에도 불구하고 두 항을 더했을 때 $0$이 돼야하므로 첫째항 전체가 상수라는 결과를 얻는다. 마찬가지로 둘째항 역시 상수이다.

$$\dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) = C_{1}$$

$$\dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =C_2$$

$(1)$의 복잡한 편미분 방정식이 간단한 상미분 방정식 2개로 바뀌었다. 이제 각 미분방정식을 풀어 $S(s)$와 $\Phi (\phi)$를 구해 곱하면 우리가 원하는 $V(s,\phi)$를 얻게 된다. $C_{1}+C_2=0$이므로 두 상수는 크기는 같으며 부호는 반대이다. 이 때 반드시 $C_2$가 음수인 상수이다. 그 이유는 $C_2$가 양수일 때 미분 방정식의 해가 $\Phi (\phi)=Ae^{k\phi}+Be^{-k\phi}$꼴로 나오기 때문이다(풀이 참고). 원통좌표계이므로 $\Phi (\phi) = \Phi (\phi+2\pi)$를 만족해야하는데 위 식은 만족하지 않는다. 따라서 $C_{1}$이 양수인 상수고 $C_2$가 음수인 상수이다.

$$\dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =k^2$$

$$\dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =-k^2$$

단계 1

$$\dfrac{1}{\Phi} \dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi ^2} =-k^2$$

위 미분방정식의 해는 $\Phi (\phi)=e^{\pm ik \phi}$로 잘 알려져있다. (참고) 따라서 일반해는

$$\Phi (\phi) = A e^{ik\phi} + Be^{-ik\phi}$$

오일러 공식$e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$를 이용하면 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi$$

이 때 $A$, $B$는 복소수 상수이고 바로 전의 식에서 $A$, $B$와는 다른 상수이니 헷갈리지 말자. 이제 $\Phi (\phi)=\Phi (\phi+2\pi)$를 만족하는지 확인해보자.

$$\begin{align*} \Phi (\phi+2\pi) &= A\cos k(\phi +2\pi) + B \sin k(\phi+2\pi) \\ &= A\cos (k\phi +2k\pi) + B \sin (k\phi+2k\pi) \end{align*}$$

이 때 $k= 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$이면

$$\begin{align*} \Phi (\phi) &= A\cos (k\phi) + B \sin (k\phi) \\ &= \Phi ( \phi) \end{align*}$$

따라서 해는

$$\Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi\quad (k=0,1,2\cdots)$$

음수일 경우는 양수일 경우와 값이 중복되므로 양수의 경우만 적어주면 된다. 그런데 사실 이 때 $k=0$인 경우는 해에 포함되지 않는다. 왜냐하면 $k=0$인 경우 미분방정식을 풀면

$$\dfrac{ d^2 \Phi} {d \phi^2 } =0$$

$$\implies \dfrac{ d \Phi}{d \phi}=C$$

$$\implies \Phi=C\phi +D$$

를 얻는데 이 때의 $\Phi$는 위에서 언급했던 주기성이 없다. 따라서 최종적으로 얻는 해는

$$\Phi ( \phi) = A\cos k\phi + B \sin k\phi,\ \ (k=1,2\cdots)$$

단계 2

$$\dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =k^2$$

위 미분방정식을 정리하면

$$s\left( \dfrac{d S}{ds} + s \dfrac{d^2 S}{d s^2} \right) =k^2 S$$

$$\implies s^2 \dfrac{d^2 S}{d s^2 } + s\dfrac{d S}{ds} -k^2 S=0$$

이는 오일러 방정식이며 여기에 나와있는 방식으로 풀 수 있지만 본 글에서는 좀 더 쉽게 풀겠다. 위 미분 방정식의 해가 $s^n$꼴로 나온다는 사실을 이용하여 $S=s^n$을 대입한다. 그러면

$$s^2(n)(n-1)s^{n-2} +sns^{n-1}-k^2s^n=0$$

$$\implies n(n-1)+n-k^2=0$$

$$\implies n^2-k^2=0$$

$$\therefore n=\pm k$$ 미분 방정식의 두 해는 $s^k$, $s^{-k}$이다. 일반해는 두 해의 선형 결합이고 1 에서의 $k$의 조건까지 덧 붙이면 $$S(s) = Cs^k+Ds^{-k},\quad k=1,2,\cdots$$ 그런데 여기서 중요한 점은 $S(s)$는 $k=0$일 때의 해가 존재한다는 것이다. $k=0$일 때의 미분 방정식을 풀면 $$\dfrac{s}{S} \dfrac{d }{d s} \left( s \dfrac{dS}{ds} \right) =0$$

$$\implies \dfrac{ d}{ds} \left( s \dfrac{ dS }{ds} \right) =0$$

$$\implies s\dfrac{dS}{ds}=C$$

$$\implies dS=\dfrac{C}{s} ds$$

$$\implies S(s)=C\ln s +D$$

따라서 최종적으로 일반해를 나타내면

$$S(s)=A_{0} \ln s +B_{0} +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_{k} s^k + B_{k} s^{-k})$$

단계 3

단계 1과 단계 2의 결과를 종합하면 전위는 아래와 같다.

$$V(s,\phi) = A_{0} \ln s +B_{0} +\sum \limits _{k=1} ^\infty ( A_{k} s^k ++ B_{k} s^{-k} )( C_{k}\cos k\phi + D_{k}\sin k\phi)$$