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변수분리법을 사용한 구좌표계에서의 방위각에 무관한 라플라스 방정식 풀이

정리

구면 좌표계에서 방위각 대칭^{azimuthal symmetry}이 있을 때의 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$$V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta)$$

증명

단계 0

전위를 구할 때 경계 조건^{boundary condition}이 구면좌표계로 표현하기 쉬운 경우라면 구좌표계에 대한 라플라스 방정식을 풀어야 한다. 구면 좌표계에서의 라플라스 방정식이 아래와 같다. (참고1, 참고2)

$$\nabla ^2 V = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right) + \dfrac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \dfrac{ \partial ^2 V}{\partial \phi^2 }=0$$

이 때 전위 $V$가 $\phi$와 무관한 함수라고 하자. 다시 말해 다른 값은 같고 $\phi$만 변할 때는 $V$의 값이 변하지 않는다는 가정이다. 그러면 $\phi$에 대한 $V$의 변화량이 $0$이고 이는$\dfrac{\partial V}{\partial \phi}=0$이므로 세번째 항이 사라진다.

$$\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{ \partial V}{\partial r} \right) +\dfrac{ 1}{r^2 \sin \theta } \dfrac{ \partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ \partial V}{\partial \theta }\right)=0 \tag{1}$$

전위 $V(r, \theta)$가 변수 분리 가능한 함수라고 가정하겠다 .$V$가 $r$만의 함수 $R(r)$과 $\theta$만의 함수 $\Theta (\theta)$의 곱으로 이루어져있다고 가정한다는 말이다. $V(r,\theta)=R(r) \Theta (\theta)$를 $(1)$에 대입하고 양 변을 $V$로 나눠주어 정리하면 아래와 같은 꼴이 된다.

$$\dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) +\dfrac{ 1}{ \Theta \sin \theta } \dfrac{ d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{ d \Theta}{d \theta }\right) = 0$$

각 항이 $r$과 $\theta$에만 의존하기 때문에 두 항이 모두 상수이다.$r$의 값이 바뀌어도 둘째항과 우변의 값은 변하지 않는다. 따라서 첫째항의 값도 항상 같아야하고 이는 상수항이라는 말이다. 둘째항도 같은 이유로 상수항이다.

$$\dfrac{1}{R} \dfrac{d}{d r} \left( r^2 \dfrac{d R}{d r} \right) =l(l+1)$$

$$\dfrac{ 1}{\Theta \sin \theta } \dfrac{d}{d \theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta }\right) = -l(l+1)$$

$(1)$의 복잡한 편미분 방정식이 간단한 상미분 방정식 2개로 바뀌었다.각각의 미분방정식을 풀어 $R(r)$과 $\Theta (\theta)$를 구해 곱하면 우리가 원하는 $V(r,\theta)$를 얻게 된다.

단계 1

$$\dfrac{d}{dr} \left( r^2 \dfrac{dR}{dr} \right) = l(l+1) R$$ $$\implies 2r \dfrac{dR}{dr} +r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} =l(l+1)R$$

$$\implies r^2 \dfrac{d^2 R}{dr^2} + 2r\dfrac{dR}{dr} - l(l+1)R=0$$

이는 오일러 방정식 꼴이며 풀이는 여기에서 확인할 수 있지만 본 글에서는 좀 더 쉽게 풀겠다. 위 미분방정식의 해가 $r^k$ 꼴로 나온다는 사실을 사용하여 첫 줄에 $R=r^k$를 대입한다. 그러면

$$\dfrac{ d}{dr} \left( r^2 \dfrac{ d r^k}{dr} \right) = l(l+1)r^k$$ $$\implies \dfrac{d}{dr} (k r^{k+1} ) = l(l+1) r^k$$ $$\implies k(k+1)r^k=l(l+1)r^k$$ $$\therefore k(k+1)=l(l+1)$$ $$\implies k^2+ k -l(l+1)=0$$

근의 공식을 쓰면 $k=l$ 혹은 $k=-(l+1)$이다. 따라서 $r^l$과 $\dfrac{1}{r^{l+1} }$이 미분방정식의 해이다. 일반해는 두 해의 선형결합이므로 $R(r)=Ar^l + \dfrac{B}{r^{l+1} }$, $A,B$는 상수

단계 2

$$\dfrac{d}{d\theta} \left( \sin \theta \dfrac{d \Theta }{d \theta} \right) =-l(l+1)\sin \theta \Theta$$

$\theta$에 대한 미분방정식의 풀이는 어렵기 때문에 결과만 소개한다. 자세한 풀이를 알고싶다면 여기를 참고하라. 위 미분방정식의 해는 $\cos \theta$에 대한 르장드르 다항식이다.

$$\Theta (\theta) = P_{l}( \cos \theta)$$

이 때 $P_{l}(x)$는 다음과 같다.

로드리게스 공식 $$P_{l}(x) := \dfrac{1}{2^l l!} \left( \dfrac{d}{dx} \right) ^l (x^2-1)^l$$

l$은 양의 정수,$P_{0}(x)=1$

위 공식에 따라 계산한 르장드르 다항식은 아래와 같다.

$$P_{0}(x) =1$$ $$P_{1}(x)=x$$ $$P_2(x) = \dfrac{3x^2-1}{2}$$ $$P_{3}(x) = \dfrac{5x^3 -3x}{2}$$ $$\vdots$$

2계 미분방정식이므로 2개의 해를 구해야하는데 각 $l$ 값에 대해 하나의 해만 있다. 나머지 두번째 해는 $\theta=0$과 $\theta=\pi$에서 발산하기 때문에 물리적인 의미가 있는 해가 아니다. 따라서 드장드르 다항식에 의한 첫번째 해만 고려해주면 된다.

단계 3.

단계 1 과 단계 2 의 결과를 종합하면 전위는

$$V(r,\theta) =\left( Ar^l ++ \dfrac{B}{r^{l+1}} \right) P_{l}( \cos \theta)$$

이 때 각 $l$값 마다 해가 하나씩 있으므로 일반해는 이 들을 모두 합한 것이다.

$$V(r,\theta) = \sum \limits_{l=0} ^\infty \left( A_{l} r^l + \dfrac{B_{l}}{r^{l+1} } \right) P_{l}(\cos \theta)$$

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