📂미분적분학

아크탄젠트 함수의 급수전개

정리¹

$$\tan ^{ -1 } x = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { (-1) ^{ n } { x } ^ { 2n+1 } } { 2n+1 } }$$

설명

$\arctan$으로 쓰든 $\tan ^{-1}$로 쓰든 상관없다. 여러 삼각함수의 역함수 중에서도 아크탄젠트가 특히 흥미로운 이유는 바로 $\pi$ 로 수렴하는 급수를 제공해주기 때문이다. $x=1$ 을 대입하면

$${ \pi \over 4 } = \tan ^{-1} 1 = 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + \cdots$$

양변에 $4$ 를 곱하면 다음과 같이 $\pi$로 수렴하는 무한급수를 얻는다.

$$\pi = 4 \left( 1 - {1 \over 3} + {1 \over 5} - {1 \over 7} + \cdots \right)$$

원주율 구하기

아크탄젠트의 급수전개와 직접적인 관계는 없지만, 비슷하게 원주율 $\pi$ 를 급수로 구한다는 측면에서 뉴턴이 큰 업적을 남긴 바 있다.

증명

$-1<t<1$ 에서

$$\frac { 1 }{ 1-t }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { t ^ n } } \implies \frac { 1 }{ 1+{ t ^ 2 } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { \left( -{ t ^ 2 } \right) } ^{ n } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n} } }$$

이므로

$$\begin{align*} \tan^{ -1 }x =& \int _{ 0 }^{ x }{ \frac { 1 }{ 1+{ t ^ 2 } } }dt \\ =& \int _{ 0 }^{ x }{ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n} } } }dt \\ =& { \left[ \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) ^ { n } }{ t ^ {2n+1} } }{ 2n+1 } } \right] }_{ 0 }^{ x } \\ =& \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { (-1) ^ { n } }{ x ^ {2n+1} } }{ 2n+1 } } \end{align*}$$

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