📂동역학

Lozi map

정의 ¹

다음과 같이 동역학계를 정의하는 맵을 로치 맵^{Lozi map map}이라 한다. $$\begin{align*} x \mapsto& 1 - a \left| x \right| + y \\ y \mapsto& b x \end{align*}$$

설명

로치 맵은 헤논 맵에서 $x^{2}$ 만 $\left| x \right|$ 로 대체한 맵으로써, 연속이지만 미분불가능한 점 $x = 0$ 이 존재한다. 그 바이퍼케이션 다이어그램과 랴푸노프 스펙트럼은 다음과 같다.

코드

다음은 로치 맵의 바이퍼케이션 다이어그램을 줄리아로 재현하는 코드다.

b = 0.3
hrzn = []; vrtc = []
for a = 0.5:0.001:1.8
    Lozi(x) = [1 + x[2] - a*abs(x[1]), b*x[1]]
    v_ = [[.0, .0]]
    for k in 1:1000
        push!(v_, Lozi(v_[end]))
    end
    push!(hrzn, fill(a, 500))
    push!(vrtc, first.(v_[(end-500):end]))
end
p1 = plot(legend = :none, xlabel = "a", ylabel = "x", title = "Lozi map")
for ak in eachindex(hrzn)
    scatter!(p1, hrzn[ak], vrtc[ak], color = :black, ms = 0.5, ma = 0.5)
end
plot!(p1, xlims = [0.5, 1.5]);
png("Lozi_map.png")