📂전자기학

전위의 성질

전위의 기준점¹

전위의 정의는 다음과 같다.

$$ V(\mathbf{r} ) \equiv - \int _\mathcal{O} ^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} $$

따라서 기준점 $\mathcal{O}$에 따라 그 값이 달라질 수 있다. 예를 들어 새로운 기준점 $\mathcal{O}^{\prime}$을 잡으면 다음과 같이 어떤 상수 $K$만큼 값의 차이가 생긴다.

$$ \begin{align*} V^{\prime} (\mathbf{r} ) =&\ -\int _{\mathcal{O}^{\prime}}^\mathbf{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \\ =&\ -\int _{\mathcal{O}^{\prime}} ^\mathcal{O} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} -\int_\mathcal{O} ^\mathbf{r} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \\ =&\ K + V( \mathbf{r} ) \end{align*} $$

$K$는 전기장 $\mathbf{E}$를 $\mathcal{O}$부터 $\mathcal{O}^{\prime}$까지 선적분한 값이다. 여기서 중요한 점은 기준점에 의해 전위 $V$의 값이 달라질 수는 있어도 결국 전기장 $\mathbf{E}$의 값은 변하지 않는다는 것이다.

상수에 대한 미분은 $0$이므로

$$ \nabla V^{\prime} = \nabla (K+V)=\nabla K + \nabla V = \nabla V $$

따라서

$$ \nabla V^{\prime} =\nabla V =\mathbf{E} $$

기준점을 어디로 둬도 전기장에는 영향을 미치지 않으니 전위를 다룰 때 아주 큰 이점이 된다. 중요한 것은 전위 그 자체가 아니라 두 점 사이의 전위차 이다. 전위차 역시 기준점을 어떻게 두는지와는 무관하다는 것을 보일 수 있다.

$$ V^{\prime}( \mathbf{b} ) -V^{\prime}( \mathbf{a} ) = \left[ K + V( \mathbf{b} ) \right] - \left[ K +V( \mathbf{a} ) \right]= V(\mathbf{b}) - V( \mathbf{a}) $$

중첩원리

전위 역시 전기장과 마찬가지로 중첩원리를 따른다. 총 전위는 각각의 원천전하가 만드는 전위를 단순히 더하기만 하면 된다는 말이다. $V=V_{1}+V_2+V_{3}+\cdots$이고, $\mathbf{E}_{i}=-\nabla V_{i}$라고 하면,

$$ \begin{align*} \mathbf{E} =&\ \mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_2+\mathbf{E}_{3}+\cdots \\ =&\ -\nabla V_{1} -\nabla V_2 -\nabla V_{3} -\cdots \\ =&\ -\nabla (V_{1}+V_2+V_{3}+\cdots) \\ =&\ -\nabla V \end{align*} $$