전위

도입

원천🔒(26/05/23)전하가 시간에 따라 변하지 않는 정전기학에서는 전기장 $\mathbf{E}$는 항상 컬(회전)이 $\mathbf{0}$인 벡터장이다. 이런 성질을 만족하는 벡터함수를 수학적으로는 보존장이라 한다. 보존장은 어떤 스칼라 장의 그래디언트로 표현될 수 있다는 점에서 수학적으로 용이하다. 즉 어떤 스칼라 함수 $V$가 존재하여, 전기장 $\mathbf{E}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{E} = - \nabla V \tag{1} $$

정의

전기장 $\mathbf{E}$의 스칼라 퍼텐셜 $V$를 전위^{electric potential}라 한다. 무한히 고정된 점 $\mathbf{r}_{0}$를 기준으로, 위치 $\mathbf{r}$에서의 전위를 아래와 같이 정의한다.

$$ V(\mathbf{r}) = -\int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} $$

유도

고정된 점 $\mathbf{r}_{0}$에 대해서 $V$라는 함수를 아래와 같이 정의하자.

$$ V(\mathbf{r}) = - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \tag{2} $$

두 점 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$사이의 전위 차이는 다음과 같다.

$$ \begin{align*} V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) &= - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} - \left( - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{a}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \right) \\ &= - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} - \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{r}_{0}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \\ &= - \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \end{align*} $$

한편 기울기의 기본 정리에 의해 다음이 성립한다.

$$ V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\left( \nabla V \right) \cdot d\mathbf{l} $$

위의 두 식은 임의의 두 점 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$에 대해서도 성립하기 때문에, 피적분함수가 같다. 따라서 $(2)$와 같이 정의한 $V$가 $(1)$을 만족하는 $E$의 스칼라 퍼텐셜이다.

$$ \nabla V = - \mathbf{E} $$

■

설명

전기장은 벡터함수이고 전위는 스칼라함수 이므로, 전기장 대신 전위를 도입하여 다루는 것이 수학적으로 편리하다.

전위의 값 자체는 기준점 $\mathbf{r}_{0}$를 어디로 두느냐에 따라 달라질 수 있다. 따라서 중요한 것은 전위의 값이 아니라 두 점 사이의 전위차이다. 전위차는 고정점에 따라서 바뀌지 않는다. 즉 다음이 성립하기 때문에 전위에서 고정점을 어떻게 설정하든 전기장은 변하지 않는다.

$$ \nabla V_{\mathbf{r}_{0}}(\mathbf{r}) = \nabla V_{\mathbf{r}_{0}^{\prime}}(\mathbf{r}) $$

전기장의 크기는 거리 제곱에 반비례하므로 아주 멀리 떨어진 점에서는 그 크기가 $0$에 가깝다고 할 수 있다. 따라서 전하가 유한한 영역에 분포한 많은 경우에서는 $\mathbf{r}_{0}$을 무한히 멀리 떨어진 점으로 간주하여 전위를 다음과 같이 설정한다.

$$ V(\mathbf{r}) = - \int_{\infty}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} $$

원천전하 $q_{i}$가 여럿 있을 때, 시험전하 $Q$가 받는 전기장은 각각의 원천전하가 만드는 전기장을 모두 더한 것과 같다.

$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_{1} + \mathbf{E}_{2} + \cdots + \mathbf{E}_{n} $$

이는 전위에도 그대로 적용된다. $\mathbf{E}$의 전위 $V$는 각각의 $\mathbf{E}_{i}$들의 전위 $V_{i}$를 더한 것과 같다. 공통의 기준점 $\mathbf{r}_{0}$에 대해서,

$$ \begin{align*} V (\mathbf{r}) &= - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \\ &= - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \left( \mathbf{E}_{1} + \mathbf{E}_{2} + \cdots + \mathbf{E}_{n} \right) \cdot d \mathbf{l} \\ &= - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E}_{1} \cdot d \mathbf{l} - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E}_{2} \cdot d \mathbf{l} - \cdots - \int_{\mathbf{r}_{0}}^{\mathbf{r}} \mathbf{E}_{n} \cdot d \mathbf{l} \\ &= V_{1}(\mathbf{r}) + V_{2}(\mathbf{r}) + \cdots + V_{n}(\mathbf{r}) \end{align*} $$

단위

국제단위계에서 전기장의 단위가 $\mathrm{N} / \mathrm{C}$이므로, 전위의 단위는 $\mathrm{N}\cdotp\mathrm{m}/\mathrm{C}$이다. 이를 볼트^volt라 한다.

$$ \mathrm{V} = \dfrac{\mathrm{N}\cdotp\mathrm{m}}{\mathrm{C}} = \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} = \mathrm{kg} \cdotp \mathrm{m}^{2} \cdotp \mathrm{s}^{-3} \cdotp \mathrm{A}^{-1} $$

의미

고정된 원천전하들이 있는 상황에서 시험전하 $Q$를 점 $\mathbf{a}$에서 점 $\mathbf{b}$ 옮긴다고 하자. 이때 시험전하가 받는 전기력은 $\mathbf{F} = Q \mathbf{E}$이다. 이 시험전하를 가속 없이 일정한 속도로 옮기려면, 즉 이 시험전하를 최소한의 힘으로 옮기기 위해서 외부에서 가해야하는 힘은 $\mathbf{F}_{\text{ext}} = -Q \mathbf{E}$이다. 이때 외력 $\mathbf{F}_{\text{ext}}$가 한 일은 다음과 같다.

$$ W = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F}_{\text{ext}} \cdot d \mathbf{l} = -Q \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} = Q \left[ V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) \right] $$

여기서 양변을 $Q$로 나누면 다음을 얻는다.

$$ V(\mathbf{b}) - V(\mathbf{a}) = \dfrac{W}{Q} $$

즉 전위차의 의미는 단위전하를 옮기는데 드는 일이다. $\mathbf{b}$를 원천전하들과 아주 멀리 떨어진 점으로 두면, $V(\mathbf{b}) \approx 0 $이므로 아주 먼 곳에서 시험전하를 $\mathbf{r}$로 옮기는데 드는 일은 다음과 같다.

$$ W = Q V(\mathbf{r}) $$

이런 맥락에서 전위를 단위 전하의 전기적 퍼텐셜 에너지^{electric potential energy}라 할 수 있다.