📂추상대수

체의 자기동형사상

정의 ¹

$E$ 가 $F$ 의 확대체라고 하자.

1. 체 $E$ 에 대해 동형사상 $\sigma : E \to E$ 을 자기동형사상^automorphism이라 하고, $E$ 의 자기동형사상의 집합을 $\text{Auto} (E)$ 와 같이 나타낸다.
2. $\sigma \in \text{Auto} (E)$ 에 대해 $\sigma ( a ) = a$ 면 $\sigma$ 가 고정된 $a$ 를 남긴다고 한다.
3. $S \subset \text{Auto} (E)$ 라고 하자. 모든 $a \in F$ 에 대해 모든 $\sigma \in S$ 가 고정된 $a$ 를 남기면 $S$ 가 고정된 부분체 $F$ 를 남긴다고 한다.
4. $\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E)$ 가 고정된 $F$ 를 남기면 $\sigma$ 가 고정된 $F$ 를 남긴다고 한다.
5. $\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E)$ 가 고정된 체 $E_{ \left\{ \sigma \right\} }$ 를 남기면 $\sigma$ 가 고정된 체 $E_{\sigma}$ 를 남긴다고 한다.
6. $F$ 를 남기는 $E$ 의 모든 자기동형사상의 집합을 $G ( E / F )$ 와 같이 나타내고 $F$ 상에서 $E$ 의 군이라 한다.

정리

• [1]: $\left< \text{Auto} ( E ) , \circ \right>$ 은 군이다.
• [2]: $G ( E / F) \le \text{Auto} ( E )$

예시

말이 몹시 어렵고 복잡해서 그보다는 예시를 통해 개념적으로 이해하는 편이 낫다.

$$ F = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) \le \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = E $$ 이라고 하면 $(x^2 - 3) \in F [ x ]$ 는 $F$ 상에서 기약원이므로 $\sqrt{3} , \sqrt{-3}$ 은 $E$ 상에서 켤레다. 켤레 동형사상 정리에 의해 $\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } : E \to E$ 는 동형사상이고, 따라서 $ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } \in \text{Auto} (E) $ 임을 알 수 있다.

실제로 함수 $\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} }$ 를 취해보자. $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$ 에 대해 $$ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( a+ b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} ) = a+ b \sqrt{2} - c \sqrt{3} - c \sqrt{2} \sqrt{3} $$ 인데, 모든 $( x + y \sqrt{2} ) \in \mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$ 에 대해서는

$$ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( x + y \sqrt{2} ) = x + y \sqrt{2} $$ 이므로 $\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} }$ 는 고정된 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$ 를 남긴다고 할 수 있다. 쉽게 말해 $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$ 는 $\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} }$ 에 영향을 받지 않는 부분체라고 볼 수 있다. 이런 센스에서 ‘고정’이라든가 ‘남긴다’라는 표을 사용하는 것이다.

한편 항등사상 $I$ 와 함수의 합성연산 $\circ$ 에 대해 $$ \left( \psi_{ \alpha , - \alpha } \circ \psi_{ \alpha , - \alpha } \right) = I $$ 이므로 $$ \left< \left\{ I, \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} }, \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } , ( \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} } \circ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ) \right\} , \circ \right> $$ 은 군을 이룰뿐만 아니라 특히 클라인 사원군과 동형이 된다.

증명

[1]

• (i): 함수의 합성 $\circ$ 은 결합법칙을 만족하고, $\text{Auto} ( E )$ 의 함수끼리 합성하면 $E$ 의 자기동형사상이다.
• (ii): 항등사상 $I : E \to E$ 는 모든 $a \in E$ 에 대해 $I (a) = a$ 이므로 자기동형사상이고, $I \in \text{Auto} ( E )$ 이다.
• (iii): $\text{Auto} ( E )$ 은 자기동형사상의 집합이므로 임의의 $\sigma$ 에 대해 그 역사상 $\sigma^{-1} \in \text{Auto} ( E )$ 가 존재한다.

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[2]

• (i): 함수의 합성 $\circ$ 은 결합법칙을 만족하고, $\sigma , \tau \in G ( E / F )$ 와 $a \in F$ 에 대해 $$ (\sigma \tau) = \sigma ( \tau ( a ) ) = \sigma (a) = a $$ 이므로 $(\sigma \tau) \in G ( E / F )$ 이다.
• (ii): 항등사상 $I$ 은 $ G ( E / F )$ 의 항등원이 된다.
• (iii): $\sigma ( a ) = a$ 면 $a = \sigma^{-1} (a)$ 이므로 $\sigma^{-1} \in G ( E / F )$ 이다.

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