📂추상대수

켤레 동형사상 정리 증명

정의 ¹

체 $F$ 에 대해 $\alpha$ 가 $F$ 상에서 대수적이라고 하자.

1. 최대차항의 계수가 $1$ 이고 $p( \alpha ) = 0$ 를 만족하는 $p(x) \in F [ x ]$ 를 $\alpha$ 에 대한 $F$ 상에서의 기약 다항함수라 하고 $\text{irr} ( \alpha , F) = p(x)$ 와 같이 나타낸다.
2. $\text{irr} ( \alpha , F)$ 의 최대차항의 차수를 $F$ 상에서 $\alpha$ 의 차수 라 하고 $\deg ( \alpha , F )$ 와 같이 나타낸다.
3. $F$ 의 대수적 확대체 $E$ 에 대해 $\text{irr} ( \alpha , F) = \text{irr} ( \beta , F)$ 라고 하면 두 원소 $\alpha , \beta \in E$ 는 $F$ 상에서 켤레^conjugate라 한다.

예시

자연스러운 예시로써 켤레복소수 $\overline{ a + ib } = a - ib$ 를 생각해보자. 기약다항함수 $$p(x) := (x^2 - 2ax + a^2 + b^2) \in \mathbb{R}[x]$$ 를 정의해보면 $$\begin{align*} & p\left( a + ib \right) \\ =& a^2 + i2ab - b^2 - 2a^2 - i2ab + a^2 + b^2 \\ =& 0 \\ =& a^2 - i2ab - b^2 - 2 a^2 + i2ab + a^2 + b^2 \\ =& p \left( a - ib \right) \end{align*}$$ 이므로 대수학의 표현을 사용해도 $\left( a + ib \right) , \left( a - ib \right) \in \mathbb{C}$ 는 $\mathbb{R}$ 상에서 켤레가 됨을 알 수 있다.

켤레의 더 직관적인 이해를 위한 예시로 오차방정식 $$x^5 + x^3 + x^2 + 1 = 0$$ 을 생각해보자.

$\mathbb{R} [ x ]$ 의 기약원들로 인수분해하면 $$x^5 + x^3 + x^2 + 1 = (x^3+1)(x^2+1) = (x+1) ( x^2 + x + 1 ) ( x^2+ 1 )$$ 이므로 해 $x=-1$, $x= \pm 1$, $\displaystyle x= {{-1 \pm \sqrt{ - 3} } \over {2}}$ 를 구할 수 있다. 이들은 모두 주어진 방정식을 만족시키긴 하지만, $x=-1$ 는 일차방정식의 해가 되므로 다른 해들과 켤레가 될 수 없다. 또한 $x=i$ 와 $\displaystyle x= {{-1 + \sqrt{ - 3} } \over {2}}$ 는 다른 기약 다항함수의 영이므로 켤레가 아니다.

복소수 없이 켤레가 되는 예시로 $(x^2 - 2 ) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 의 영이 되는 $\sqrt{2}$ 와 $(- \sqrt{2})$ 는 $\mathbb{Q}$ 상에서 켤레다.

정리

체 $F$ 상에서 대수적인 $\alpha$ 에 대해 $\deg ( \alpha , F) = n$ 이라고 하자. 사상 $\psi_{\alpha , \beta} : F( \alpha ) \to F ( \beta )$ 를 $$\psi_{ \alpha , \beta } ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) := c_{0} + c_{1} \beta + \cdots + c_{n-1} \beta^{n-1}$$ 와 같이 정의하면

• $\psi_{ \alpha , \beta }$ 는 동형사상 $\iff$ $\text{irr} ( \alpha , F) = \text{irr} ( \beta , F)$

증명

$( \implies )$

$$\text{irr} ( \alpha , F) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$$ 이라고 하면 $$a_{0} + a_{1} \alpha + \cdots + a_{n} \alpha^{n} = 0$$ 이다. $\psi_{ \alpha , \beta }$ 는 동형사상이므로 $$\begin{align*} \psi_{ \alpha , \beta } ( 0) =& \psi_{ \alpha , \beta } ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n} \alpha^{n} ) \\ =& c_{0} + c_{1} \beta + \cdots + c_{n} \beta^{n} \\ =& 0 \end{align*}$$ 이다. 이는 곧 $\text{irr} ( \beta , F)$ 가 $\text{irr} ( \alpha , F)$ 를 나눈다는 의미고, $( \psi_{ \alpha , \beta } )^{-1} = \psi_{ \beta , \alpha }$ 에 대해서도 마찬가지이므로 다음이 성립한다. $$\text{irr} ( \beta , F) = \text{irr} ( \alpha , F)$$

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$( \impliedby )$

$$p(x) := \text{irr} ( \beta , F) = \text{irr} ( \alpha , F)$$ 이라 하고 대입함수 $\phi_{\alpha} : F [ x ] \to F(\alpha)$ 와 $\phi_{\beta} : F [ x ] \to F(\beta)$ 를 정의하자. 그러면 $p( \alpha ) = p( \beta ) = 0$ 이므로 $\phi_{\alpha}$ 와 $\phi_{\beta}$ 은 같은 핵 $\left< p(x) \right> \subset F [ x ]$ 을 갖는다.

준동형사상의 기본정리: 환 $R$, $r '$ 에 대해 준동형사상 $\phi : R \to r '$ 이 존재하면 $R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)$

준동형사상의 기본정리에 의해 두 동형사상 $\psi_{\alpha} : F / \left< p(x) \right> \to F ( \alpha )$ 과 $\psi_{\beta} : F / \left< p(x) \right> \to F (\beta )$ 가 존재한다. 이에 $$\psi_{\alpha , \beta } := \psi_{\alpha} \circ ( \psi_{\alpha} )^{-1}$$ 라고 두면 $\psi_{\alpha , \beta } : F ( \alpha ) \to F ( \beta )$ 역시 동형사상이다. 따라서 $( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) \in F ( \alpha )$ 에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*} & \psi_{ \alpha , \beta } ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) \\ =& \left( \psi_{\alpha} \circ ( \psi_{\alpha} )^{-1} \right) ( c_{0} + c_{1} \alpha + \cdots + c_{n-1} \alpha^{n-1} ) \\ =& \psi_{\beta} \left( ( c_{0} + c_{1} x + \cdots + c_{n-1} x^{n-1} ) + \left< p(x) \right> \right) \\ =& c_{0} + c_{1} \beta + \cdots + c_{n-1} \beta^{n-1} \end{align*}$$

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한편 실수를 계수로 갖는 방정식에 대해 아래의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다.

따름정리

$f(x) \in \mathbb{R} [ x ]$ 에 대해 $f ( a + ib) = 0$ 면 $f ( a - ib) = 0$

따름정리의 증명

$f(x) := c_{0} + c_{1} x + \cdots + c_{n} x^{n}$ 이라고 두자.

$f ( a + ib) = 0$ 이므로 $$f( a + ib ) := c_{0} + c_{1} ( a + ib ) + \cdots + c_{n} ( a + ib )^{n} = 0$$ $i$ 와 $-i$ 는 $\mathbb{R}$ 상에서 켤레이므로 다음이 성립한다. $$0 = \psi_{i , -i} \left( 0 \right) = \psi_{i , -i} \left( f ( a + ib) \right)= f ( a - ib)$$

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