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크로네커 델타

정의

다음과 같이 정의되는 $\delta_{ij}$를 크로네커 델타^{Kronecker delta} 라고 한다.

$$\delta_{ij} := \begin{cases} 1,&i=j \\ 0, & i\ne j \end{cases}$$

설명

크로네커 델타 굉장히 많은 곳에서 쓰이는데 주 역할은 모든 성분(원소, 가능성 등) 중에서 원하는 것만을 나타내주는 것이다. 물리학과 학생이라면 내적에 대한 표현으로 주로 접하게된다. 이게 무슨 말인지 감이 잘 오지 않을테니 아래의 예시를 보면서 이해해보자.

예시

우선 두 벡터 $\mathbf{A}=(A_{1}, A_{2}, A_{3})$, $\mathbf{B}=(B_{1}, B_{2}, B_{3})$가 주어졌다고 하자. 그러면 두 벡터의 내적은 다음과 같다.

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3}$$

이를 합 기호 $\sum$를 써서 표현하면 다음과 같다.

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} = \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i}$$

그러면 위의 식과 $\sum \limits_{i=1}^{3}\sum \limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j}$가 같은 식이라는 것을 다음을 통해 알 수 있다.

$$\begin{align*} \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta_{ij}A_{i}B_{j} &= \delta_{11}A_{1}B_{1} + \delta_{12}A_{1}B_{2} + \delta_{13}A_{1}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{21}A_{2}B_{1} + \delta_{22}A_{2}B_{2} + \delta_{23}A_{2}B_{3} \\ & \quad+ \delta_{31}A_{3}B_{1} + \delta_{32}A_{3}B_{2} + \delta_{33}A_{3}B_{3} \\ &= 1\cdot A_{1}B_{1} + 0 \cdot A_{1}B_{2} + 0\cdot A_{1}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{2}B_{1} + 1\cdot A_{2}B_{2} + 0\cdot A_{2}B_{3} \\ & \quad+ 0\cdot A_{3}B_{1} + 0\cdot A_{3}B_{2} + 1\cdot A_{3}B_{3} \\ &= A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2} + A_{3}B_{3} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{3}A_{i}B_{i} \\ &= \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \end{align*}$$

위 결과에 하나의 변에 같은 인덱스가 두 번이상 나오면 $\sum$을 생략한다는 아인슈타인 표기법을 적용하면 다음과 같다.

$$\delta_{ij}A_{i}B_{j} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$$

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그래서 $\delta_{ij}A_{i}B_{j}$와 $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$가 같은 건 알겠는데, 왜 이런 표현을 쓰는지는 이해가 안될 수 있다. 위의 예시는 매우 간단한 수식이므로 그 유용함이 돋보이지 않겠지만 전자기학 등에서 수많은 벡터들의 내적과 외적, 그래디언트, 다이벌전스, 컬, 라플라시안 등을 계산하다보면 그 편리함을 알게 될 것이다. 만약 학부 2학년이라면 굳이 그 편리함에 대해서 자연스레 알게 될테니 지금 당장 억지로 납득할 필요는 없다.

또한 두 아래첨자가 모두 같을 때만 값이 있으므로 아래와 같이 두 개 이상의 크로네커 델타가 곱해져있다면 당연하게도 모든 첨자가 같을 때에만 값이 있다.

$$\delta_{ij}\delta_{jk}$$

위와 같은 경우, $i=j=k$인 경우에만 $0$이 아닌 값이 존재한다. 또한 크로네커 델타는 $2$차 텐서의 한 예이다.

공식

(a) $\delta_{ii} = 3$

(b) $\delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il}$

(c) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 9$

(d) $\delta_{ii}\delta_{jj} = 6 \quad (i \ne j)$

여기서 한 인덱스가 두 번이상 나온 변에는 $\sum$이 생략되어있음을 잊지 말자.

증명

(a)

아인슈타인 노테이션에 의해서 다음이 성립한다.

$$\delta_{ii} = \sum \limits_{i=1}^{3} \delta_{ii} = \delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33}=3$$

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(b)

아인슈타인 노테이션에 의해서 다음이 성립한다.
$$\delta_{ij}\delta_{jl}=\sum\limits_{j=1}^{3}\delta_{ij}\delta_{jl}=\delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l}$$

이제 위 값이 $0$이 아닌 경우에 대해서 생각해보자. 다음의 세 경우가 있다.

$$i=l=1 \quad \text{and} \quad i=l=2 \quad \text{and} \quad i=l=3$$

첫번째 경우라면 다음이 성립한다.

$$\delta_{i1}\delta_{1l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i2}\delta_{2l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1$$

두번째 경우라면 다음이 성립한다.

$$\delta_{i2}\delta_{2l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i3}\delta_{3l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1$$

세번째 경우라면 다음이 성립한다.

$$\delta_{i3}\delta_{3l} = 1 \quad \text{and} \quad \delta_{i1}\delta_{1l}=\delta_{i2}\delta_{2l} = 0 \\ \implies \delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{i1}\delta_{1l}+\delta_{i2}\delta_{2l}+\delta_{i3}\delta_{3l} = 1$$

따라서 $\delta_{ij}\delta_{jl}$는 $i=l$일 때만 값이 $1$이고, 나머지 경우에는 모두 값이 $0$이므로 다음의 결과를 얻는다.

$$\delta_{ij}\delta_{jl} = \delta_{il}$$

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(c)

아인슈타인 노테이션에 의해 $\sum$이 생략되어있으므로 다음과 같다.

$$\begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{j=1}^3{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \sum\limits_{i=1}^{3}{\delta_{ii} \sum\limits_{j=1}^3\delta_{jj}} \\ &= 3\cdot 3 \\ &= 9 \end{align*}$$

세번째 등호는 (a) 에 의해서 성립한다.

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(d)

아인슈타인 노테이션에 의해 $\sum$이 생략되어있으므로 다음과 같다.

$$\begin{align*} \delta_{ii}\delta_{jj} &= \sum\limits_{i=1}^{3}\sum\limits_{\substack{j=1 \\ j\ne i}}^{3}{\delta_{ii}\delta_{jj}} \\ &= \delta_{11}\delta_{22} +\delta_{11}\delta_{33} +\delta_{22}\delta_{11} +\delta_{22}\delta_{33}+\delta_{33}\delta_{11}+\delta_{33}\delta_{22} \\ &= 6 \end{align*}$$

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