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분리벡터의 발산 📂수리물리

분리벡터의 발산

공식

∇⋅(1r2r^)= 4πδ3(r)∇⋅(12)= 4πδ3()∇2(1)= −4πδ3() \begin{align*} \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{r^2}\hat{ \mathbf{r} } \right) =&\ 4\pi \delta^3(\mathbf{r}) \\[1em] \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^{2}} \crH \right) =&\ 4\pi \delta^3(\bcR) \\[1em] \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\cR} \right) =&\ -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \end{align*}

여기서 r\mathbf{r}은 위치벡터, \bcR은 분리벡터이다.

설명

벡터 함수 v=1r2r^\mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}이 있다고 하자. 크기는 거리 제곱에 반비례하고 방향은 반지름 방향이다.이제부터 이 함수의 발산을 계산해보자. 구좌표계에서의 기울기 공식을 사용하면

∇⋅v=1r2∂∂r(r21r2)=1r2∂∂r(1)=0 \nabla \cdot \mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left( r^2\dfrac{1}{r^2} \right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(1)=0

그런데 여기에 발산 정리를 적용하여 계산하면 전혀 다른 결과가 나온다.

발산 정리

∫V∇⋅vdτ=∮Sv⋅da \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau = \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a}

중심이 원점이고 반지름이 RR인 공에 대해서 적분한다고 가정하자.

∫V∇⋅vdτ=∮Sv⋅da=∫(1R2r^)⋅(R2sin⁡θdθdϕr^)=∫sin⁡θdθdϕ=(∫0πsin⁡θdθ)(∫02πdϕ)=4π \begin{align*} \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau &= \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} \\ &= \int \left(\dfrac{1}{R^2}\hat{\mathbf{r}} \right) \cdot \left( R^2 \sin \theta d\theta d \phi \hat{\mathbf{r}} \right) \\ &= \int \sin \theta d\theta d\phi \\ &= \left( \int _{0} ^\pi \sin \theta d\theta \right) \left( \int _{0} ^2\pi d\phi \right) \\ &= 4\pi \end{align*}

위에 계산한 결과에 따르면 ∇⋅v=0\nabla \cdot \mathbf{v}=0이므로 이를 적분해도 00이어야 한다. 하지만 발산정리를 따라 계산한 결과는 4π4\pi다. 어딘가에 문제가 있음이 분명하다. 문제가 되는 곳은 바로 r=0r=0인 곳이다. r=0r=0에서 v=1r2r^\mathbf{v}=\dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}는 값이 무한대로 간다. 애초에 1r2\dfrac{1}{r^2}은 r=0r=0에서의 값이 존재하지 않는다. ∇⋅v=0\nabla \cdot \mathbf{v}=0이라는 것은 r≠0r\ne 0인 모든 곳에서의 값이 00이라는 뜻이다. 그런데 원점을 포함하여 적분한 결과가 4π4\pi이므로 이 적분값은 오로지 r=0r=0인 곳에서만 나온다고 말할 수 있다. 이런 문제를 해결하기 위해 디랙 델타 함수가 도입되었다. {}\\ {}

  • 3차원이면서
  • 00이 아닌 모든 곳에서 값이 00이고
  • 원점을 포함한 전 영역에 대한 적분값이 4π4\pi가 되게 하려면

∇⋅(1r2r^)=4πδ3(r) \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{r^2}\hat{ \mathbf{r} } \right) = 4\pi \delta^3(\mathbf{r})

일반적으로 분리벡터에 대해서 나타내면

∇⋅(12)=4πδ3()(1) \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^2}\crH \right) = 4\pi \delta^3(\bcR) \tag{1}

분리벡터의 기울기는 ∇(1)=−12\nabla \left( \dfrac{1}{\cR} \right) = -\dfrac{1}{\cR^2}\crH이므로, 이를 (1)(1)에 대입하면

∇⋅[−∇(1)]=4πδ3()  ⟹  ∇⋅[∇(1)]=−4πδ3()  ⟹  ∇2(1)=−4πδ3() \begin{align*} && \nabla \cdot \left[ -\nabla \left(\dfrac{1}{\cR} \right) \right] &= 4\pi \delta^3 ( \bcR ) \\ \implies && \nabla \cdot \left[ \nabla \left(\dfrac{1}{\cR} \right) \right] &= -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \\ \implies && \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\cR} \right) &= -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \end{align*}