분리벡터의 발산

공식

$$ \begin{align*} \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{r^2}\hat{ \mathbf{r} } \right) =&\ 4\pi \delta^3(\mathbf{r}) \\[1em] \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^{2}} \crH \right) =&\ 4\pi \delta^3(\bcR) \\[1em] \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\cR} \right) =&\ -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \end{align*} $$

여기서 $\mathbf{r}$은 위치벡터, $\bcR$은 분리벡터이다.

설명

벡터 함수 $\mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$이 있다고 하자. 크기는 거리 제곱에 반비례하고 방향은 반지름 방향이다.이제부터 이 함수의 발산을 계산해보자. 구좌표계에서의 기울기 공식을 사용하면

$$ \nabla \cdot \mathbf{v} = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left( r^2\dfrac{1}{r^2} \right) = \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(1)=0 $$

그런데 여기에 발산 정리를 적용하여 계산하면 전혀 다른 결과가 나온다.

발산 정리
$$ \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau = \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} $$

중심이 원점이고 반지름이 $R$인 공에 대해서 적분한다고 가정하자.

$$ \begin{align*} \int_\mathcal{V} \nabla \cdot \mathbf{v} d\tau &= \oint _{S} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{a} \\ &= \int \left(\dfrac{1}{R^2}\hat{\mathbf{r}} \right) \cdot \left( R^2 \sin \theta d\theta d \phi \hat{\mathbf{r}} \right) \\ &= \int \sin \theta d\theta d\phi \\ &= \left( \int _{0} ^\pi \sin \theta d\theta \right) \left( \int _{0} ^2\pi d\phi \right) \\ &= 4\pi \end{align*} $$

위에 계산한 결과에 따르면 $\nabla \cdot \mathbf{v}=0$이므로 이를 적분해도 $0$이어야 한다. 하지만 발산정리를 따라 계산한 결과는 $4\pi$다. 어딘가에 문제가 있음이 분명하다. 문제가 되는 곳은 바로 $r=0$인 곳이다. $r=0$에서 $\mathbf{v}=\dfrac{1}{r^2}\hat{\mathbf{r}}$는 값이 무한대로 간다. 애초에 $\dfrac{1}{r^2}$은 $r=0$에서의 값이 존재하지 않는다. $\nabla \cdot \mathbf{v}=0$이라는 것은 $r\ne 0$인 모든 곳에서의 값이 $0$이라는 뜻이다. 그런데 원점을 포함하여 적분한 결과가 $4\pi$이므로 이 적분값은 오로지 $r=0$인 곳에서만 나온다고 말할 수 있다. 이런 문제를 해결하기 위해 디랙 델타 함수가 도입되었다. ${}\\ {}$

3차원이면서
$0$이 아닌 모든 곳에서 값이 $0$이고
원점을 포함한 전 영역에 대한 적분값이 $4\pi$가 되게 하려면

$$ \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{r^2}\hat{ \mathbf{r} } \right) = 4\pi \delta^3(\mathbf{r}) $$

일반적으로 분리벡터에 대해서 나타내면

$$ \nabla \cdot \left( \dfrac{1}{\cR^2}\crH \right) = 4\pi \delta^3(\bcR) \tag{1} $$

분리벡터의 기울기는 $\nabla \left( \dfrac{1}{\cR} \right) = -\dfrac{1}{\cR^2}\crH$이므로, 이를 $(1)$에 대입하면

$$ \begin{align*} && \nabla \cdot \left[ -\nabla \left(\dfrac{1}{\cR} \right) \right] &= 4\pi \delta^3 ( \bcR ) \\ \implies && \nabla \cdot \left[ \nabla \left(\dfrac{1}{\cR} \right) \right] &= -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \\ \implies && \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\cR} \right) &= -4\pi \delta^3 ( \bcR ) \end{align*} $$