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기울기의 기본 정리

정리

$T$를 3차원 스칼라 함수라고 하자. $a, b$를 3차원 공간상의 임의의 점이라고 하자. $a$에서 점 $b$로 가는 임의의 경로에 따른 $T$의 총 변화량은 다음과 같다.

$$\begin{equation} T(b)-T(a) = \int _{a}^{b} (\nabla T) \cdot d\mathbf{l} \label{1} \end{equation}$$

이를 기울기의 기본 정리^{fundamental theorem for gradients} 혹은 기울기 정리^{gradients theorem}라고 한다.

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참고로 생새우초밥집에서는 위와 같이 정리이름에서 쓰이는 경우가 아니라 ‘기울기’라는 말이 단독으로 쓰일 땐 ‘그래디언트’로 사용한다.

설명

이 정리의 의미는 $a$에서 $b$로 가는 동안 $T$의 변화량을 계속 더하는 것$\big( \eqref{1}$의 우변$\big)$과 $b$에서의 값과 $a$에서의 값의 차이$\big( \eqref{1}$의 좌변$\big)$가 같다는 점이다. 이로 인해서 두 가지 중요한 점을 알 수 있다.

• $\displaystyle \int _{a}^{b} (\nabla T) \cdot d\mathbf{l}$은 경로와 무관한 값이다.

  당연하게도 계산 값이 $a$와 $b$점의 $T$값에만 의존하기 때문에 경로가 어찌 되던 상관없다. 시작점과 끝점에만 영향을 받는 값이다. 쉬운 예를 들면 산을 오를 때 어떤 경로로 산을 오르던 간에 꼭대기에 도착했을 때 내가 올라온 높이는 변함없다는 말과 같다.

• $\displaystyle \oint (\nabla T) \cdot d\mathbf{l}=0$

  시작점과 끝점이 같으면 $T(a)-T(a)=0$이므로 당연한 결과다. 참고로 $\oint$는 폐경로 적분이며 적분구간의 시작점과 끝점이 같다는 것을 의미한다. 즉, $\int _{a}^{a}$와 같은 의미다. 쉬운 예를 들자면 산 중턱 어느 지점에서 출발하여 오르내리다가 처음 출발했던 장소로 돌아오면 높이 변화가 없다는 말과 같다. 기울기의 기본 정리에서 꼭 알아야할 두 가지니 제대로 알고 넘어가자.

증명

점 $a$에서 점 $b$까지 가는 경로를 따라 $T$의 미소변화량 $dT$를 전부 더하면 총 변화량이 될 것이다.즉,

$$\int _{a} ^{b} dT = T(b)-T(a)$$

그런데 그래디언트의 정의에 의해 $dT=(\nabla T) \cdot (d \mathbf{l})$이므로 다음이 성립한다.

$$\int_{a}^{b} (\nabla T) \cdot (d\mathbf{l}) = \int _{a}^{b} dT = T(b)-T(a)$$

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