세분
해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha (x)=x$로 두면 리만적분과 같다.
정의
$P^{\ast}$, $P$가 $[a,b]$의 분할이고 $P \subseteq P^{\ast}$을 만족하면 $P^{\ast}$를 $P$의 세분refinement이라고 한다. 따라서 $P$의 모든 점은 $P^{\ast}$의 점이다.
임의의 두 분할 $P_{1}$, $P_{2}$에 대해 $P_{3}=P_{1} \cup P_{2}$를 를 $P_{1}$과 $P_{2}$의 공통 세분이라 한다.
고등학교에서 적분을 정의할 때 주어진 그래프를 $n$등분하고, $n$이 무한대로 가는 극한 을 취했던 것을 생각해보면 세분의 역할이 쉽게 와닿을 것이다.
정리
$P^{\ast}$를 $P$의 세분이라고 하자. 그러면 아래의 두 식이 성립한다.
$$ \begin{align} L(P,f,\alpha) &\le L(P^{\ast},f,\alpha) \label{eq1} \\ U(P^{\ast},f,\alpha) &\le U(P,f,\alpha) \label{eq2} \end{align} $$
이때 $L$, $U$는 각각 리만(-스틸체스) 상합, 하합이다.
즉, 분할이 세분화 될 수록 하합은 커지고 상합은 작아진다는 얘기다.
증명
증명에 앞서 다음과 같이 주어졌다고 하자.
$P^{\ast}$를 $P$보다 딱 한 점 더 많은 세분이라고 하자. 그리고 그 점을 $x^{\ast}$라고 하고 어떤 $i=1,\cdots ,n$에 대해서 $x_{i-1} < x^{\ast} < x_{i}$이라고 하자.
$\eqref{eq1}$
$P$에 대한 리만(-스틸체스) 하합은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n m_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*} $$
그리고 아래와 같이 두자.
$$ \begin{align*} w_{1} &= \inf f(x) &(x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ w_2&= \inf f(x) &(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*} $$
그러면 $m_{i}=\inf f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})$이므로 다음이 성립한다.
$$ m_{i} \le w_{1} \quad \text{and} \quad m_{i} \le w_2 $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] &\le w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*} $$
그러므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} L(P,f,\alpha) &= m_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + m_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + m_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\le w_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + w_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + w_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + m_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= L(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*} $$
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$\eqref{eq2}$
$\eqref{eq1}$과 같은 방법으로 증명한다. $P$에 대한 리만(-스틸체스) 상합은 다음과 같다.
$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= \sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta \alpha_{i} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \end{align*} $$
그리고 아래와 같이 두자.
$$ \begin{align*} W_{1} &= \sup f(x)& (x_{i-1} \le x \le x^{\ast}) \\ W_2&= \sup f(x)&(x^{\ast} \le x \le x_{i}) \end{align*} $$ 그러면 $M_{i}=\sup f(x)\ \ (x_{i-1} \le x \le x_{i})$이므로 다음이 성립한다.
$$ W_{1} \le M_{i} \quad \text{and} \quad W_2 \le M_{i} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] & \ge W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] \\ &= W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] \end{align*} $$
그러므로 다음이 성립한다.
$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha) &= M_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + M_{i} \left[ \alpha (x_{i}) -\alpha (x^{\ast}) \right] + M_{i} \left[ \alpha (x^{\ast})- \alpha (x_{i-1}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &\ge W_{1}\Delta \alpha_{1} + \cdots + W_{1}\left[ \alpha (x^{\ast}) - \alpha (x_{i-1}) \right] + W_2 \left[ \alpha (x_{i}) - \alpha (x^{\ast}) \right] + \cdots + M_{n}\Delta \alpha_{n} \\ &= U(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*} $$
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