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갈루아체 📂추상대수

갈루아체

정리 1

소수 pp 와 자연수 nn 에 대해 기수가 pnp^{n} 인 유한 체finite field를 pnp^{n} 차 갈루아체galois field라 정의하고 GF(pn)\text{GF} \left( p^{n} \right) 와 같이 나타낸다. 유한체는 갈루아체 뿐이고, 주어진 pp 와 nn 에 대해 갈루아체는 유일하게 존재한다.

  • 여기서 유일하다는 말은 서로 다른 체라고 해도 동형사상이 존재해서 사실상 같은 체라는 뜻이다.

설명

가우스가 처음 유한체의 개념을 떠올렸을 때만해도 그 실체를 믿는 사람은 없었다고 하지만, 현재는 유한체가 존재할뿐만 아니라 유일하면서 그 구체적인 형태까지 밝혀져있다. 모든 유한체의 형태를 규명했기 때문에 쓸데 없는 연구를 할 필요가 없다.

예를 들어 원소가 1010 개인 체가 존재하는지는 고민할 필요조차 없으며, GF(p)=Zp\text{GF} \left( p \right) = \mathbb{Z}_{p} 는 정수환이기 때문에 이미 우리가 많은 것을 알고 있다. 더 궁금한 점이 있다면 추상적인 정의에 매달릴 필요 없이 Zp\mathbb{Z}_{p} 를 통해 접근하면 되고, 그 반대도 마찬가지다.

증명 2

Part 1. 모든 유한체는 갈루아체다.

체 FF 의 유한확대체를 EE 라 하고 FF 상에서의 차수를 n:=[E:F]n := \left[ E : F \right] 이라 두자.

∣F∣=q| F | = q 이라고 하면 EE 는 FF 의 nn 차 벡터공간이므로 ∣E∣=qn|E| = q^{n} 이다. 체는 단위원을 가지는데, 표수가 00 이면 Z\mathbb{Z} 와 동형인 부분환이 존재해서 무한체가 된다. 따라서 유한체의 표수는 유한한 자연수여야한다. 유한체 EE 의 표수를 p≠0p \ne 0 라고 하면 EE 는 단위원 11 을 가지므로 p⋅1=0p \cdot 1 = 0 이어야한다. 체는 정역이므로 p⋅1=(p1⋅1)(p2⋅1)=0 p \cdot 1 = ( p_{1} \cdot 1 ) ( p_{2} \cdot 1 ) = 0 을 만족하는 p1,p2∈Zp_{1}, p_{2} \in \mathbb{Z} 가 존재할 수 없으며, pp 는 반드시 소수다. 따라서 EE 는 소체 Zp\mathbb{Z}_{p} 와 동형인 부분체를 가지며, ∣Zp∣=p\left| \mathbb{Z}_{p} \right| = p 이므로 ∣E∣=pn|E| = p^{n} 다.

Part 2. 갈루아체의 존재성

Part 2-1. xpn−xx^{p^{n}} - x 의 제로

(xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) 의 표수가 pp 인 체 FF 의 대수적 폐포 F‾\overline{F} 를 생각해보자.

F‾\overline{F} 는 대수적으로 닫혀있으므로, (xpn−x)∈F‾[x]\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{F} [ x ] 는 11 차항으로 인수분해된다. 당장 알 수 있는 사실은 xpn−x=(x−0)(xpn−1−1) x^{p^{n}} - x = ( x - 0 ) \left( x^{p^{n}-1} - 1 \right) 이므로 00 은 (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) 의 영이 된다. f(x):=xpn−1−1f(x) := x^{p^{n}-1} - 1 의 또 다른 영 α≠0\alpha \ne 0 을 생각해보면 f(α)=0f \left( \alpha \right) = 0 이므로 0=f(α)=αpn−1−1  ⟹  αpn−1=1 0 = f \left( \alpha \right) = \alpha^{p^{n} - 1} - 1 \implies \alpha^{p^{n} - 1} = 1 이고, 이에 따라 f(x)f(x) 를 (x−α)\left( x - \alpha \right) 의 곱으로써 나타내보면 f(x)=xpn−1−1=xpn−1−αpn−1=(x−α)(xpn−2+αxpn−3+⋯+αpn−3x+αpn−2) \begin{align*} f(x) =& x^{p^{n}-1} - 1 \\ =& x^{p^{n}-1} - \alpha^{p^{n}-1} \\ =& (x - \alpha ) \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) \end{align*} 이다. 한편 편의 상 두번째 인수를 g(x):=(xpn−2+αxpn−3+⋯+αpn−3x+αpn−2) g(x) := \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) 이라고 하면 g(x)g(x) 의 항의 갯수는 pn−1p^{n} - 1 개다. 따라서 x=αx = \alpha 를 대입해보면 g(α)=αpn−2⋅(pn−1)=αpn−1α(pn−1) g ( \alpha ) = \alpha^{p^{n} - 2} \cdot \left( p^{n} - 1 \right) = {{\alpha^{p^{n} - 1}} \over { \alpha }} \left( p^{n} - 1 \right) 를 얻는다. 위에서 α≠0\alpha \ne 0 는 f(x)f(x) 의 영이라서 αpn−1−1=0\alpha^{p^{n}-1} - 1 = 0 이라 했고, 표수를 소수 pp 로 가정했으므로 g(α)=1α⋅(0−1)=−1α≠0 g ( \alpha ) = {{1} \over { \alpha }} \cdot (0 - 1) = - {{1} \over { \alpha }} \ne 0 이다. 따라서 α\alpha 는 f(x)=0f(x) = 0 의 중근이 아니며, 이는 α\alpha 가 아닌 다른 영에 대해서도 같다. 결국 (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) 는 정확히 pnp^{n} 개의 서로 다른 영을 갖는다.

Part 2-2. 신입생의 꿈

한편 α,β∈F\alpha , \beta \in F 에 대해서 (α+β)p\left( \alpha + \beta \right)^{p} 을 계산해보면 이항정리에 의해 (α+β)p=∑k=1p(pk)αkβp−k=αp+∑k=2p−1p!(p−k)!(k)!αkβp−k+βp=αp+βp+p∑k=2p−1(p−1)!(p−k)!(k)!αkβp−k \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right)^{p} =& \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k} \alpha^{k} \beta^{p - k} \\ =& \alpha^{p} + \sum_{k=2}^{p-1} {{p!} \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} + \beta^{p} \\ =& \alpha^{p} + \beta^{p} + p \sum_{k=2}^{p-1} {{ ( p - 1 )! } \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} \end{align*} FF 의 표수가 pp 이므로 마지막 항은 00 이 되고, 따라서 (α+β)p=αp+βp \left( \alpha + \beta \right)^{p} = \alpha^{p} + \beta^{p} 한 번 더 양변에 pp 승을 취하면 ((α+β)p)p=(αp)p+(βp)p \left( \left( \alpha + \beta \right)^{p} \right)^{p} = \left( \alpha^{p} \right)^{p} + \left( \beta^{p} \right)^{p} 정리하면 (α+β)p2=αp2+βp2\left( \alpha + \beta \right)^{p^{2}} =\alpha^{p^2} + \beta^{p^2} 이고, 이를 nn 번 반복하면 다음을 얻는다. (α+β)pn=αpn+βpn \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n}

이제 Zp\mathbb{Z}_{p} 의 대수적 폐포 Zp‾\overline{ \mathbb{Z}_{p} } 를 생각해보자.

(xpn−x)∈Zp‾[x]\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{ \mathbb{Z}_{p} } [ x ] 의 영을 모두 모두 모아놓은 집합을 K⊂Zp‾K \subset \overline{ \mathbb{Z}_{p} } , 그리고 그 원소를 α,β∈K\alpha , \beta \in K 라고 두자.

Part 2-3. KK 는 갈루아체다.

  • (i) 덧셈에 대한 닫힘: {αpn−α=0βpn−β=0 \begin{cases} \alpha^{p^{n}} - \alpha = 0 \\ \beta^{p^{n}} - \beta = 0 \end{cases} 이다. 양변끼리 더하면 Part 2-2 (α+β)pn=αpn+βpn\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} 에 의해 (αpn+βpn)−(α+β)=(α+β)pn−(α+β)=0 \left( \alpha^{p^{n}} + \beta^{p^{n}} \right) - ( \alpha + \beta ) = \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} - ( \alpha + \beta ) = 0 이므로, (α+β)∈K( \alpha + \beta ) \in K 이다.
  • (ii) 덧셈에 대한 항등원: 0pn−0=00^{p^{n}} - 0 = 0 이므로, 0∈K0 \in K 이다.
  • (iii) 덧셈에 대한 역원: (−α)pn=(−1)pn(α)pn=(−1)pnα\left( - \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \alpha 이다.
    • p=2p=2 면 −1=1-1 = 1 이므로 (−α)=α∈K\left( -\alpha \right) = \alpha \in K 이다.
    • p≠2p \ne 2 는 홀수인 소수이므로 (−α)pn−(−α)=0\left( - \alpha \right)^{p^{n}} - ( - \alpha ) = 0, 즉 (−α)∈K( - \alpha ) \in K 이다.
  • (iv) 곱셈에 대한 닫힘 : (αβ)pn=αpnβpn=αβ\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} = \alpha^{p^{n}} \beta^{p^{n}} = \alpha \beta 이므로 (αβ)pn−αβ=0\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} - \alpha \beta = 0, 즉 αβ∈K\alpha \beta \in K 이다.
  • (v) 곱셈에 대한 항등원: 1pn−1=01^{p^{n}} - 1 = 0 이므로, 1∈K1 \in K 이다.
  • (vi) 곱셈에 대한 역원: α≠0\alpha \ne 0 에 대해 (α)pn=α\displaystyle \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \alpha 의 역수를 취하면 1(α)pn=1α\displaystyle {{1} \over {\left( \alpha \right)^{p^{n}} }} = {{1} \over { \alpha }}, 즉 (1α)pn−1α=0 \left( {{1} \over { \alpha }} \right)^{p^{n}} - {{1} \over { \alpha }} = 0 이므로 α−1∈K\alpha^{-1} \in K 이다.
  • (vii): ∣K∣=pn| K | = p^{n} : Zp\mathbb{Z}_{p} 의 표수는 pp 이므로, Part 2-1에 의해 (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) 는 정확히 pnp^{n} 개의 서로 다른 영을 갖는다.

따라서 KK 는 pnp^{n} 차 갈루아체다.

Part 3. 갈루아체의 유일성

Part 1에서 FF 의 표수는 소수 pp 고, Part 2-1에서 FF 의 대수적 폐포 F‾\overline{F} 에서의 연산은 FF 의 단위원 1F1_{F} 를 1Zp1_{\mathbb{Z}_{p}} 로 보았을 때 사실 Zp\mathbb{Z}_{p} 의 대수적 폐포 Z‾p\overline{\mathbb{Z}}_{p} 에서의 연산과 다름 없었음을 지적해두겠다.

Part 3-1. 기수가 pnp^{n} 인 체 E⊂Z‾pE \subset \overline{\mathbb{Z}}_{p} 의 정체 3

라그랑주 정리: HH 가 유한군 GG 의 부분군이면 ∣H∣|H| 는 ∣G∣|G| 의 약수다.

기수가 pnp^{n} 인 체 (E,+,×)\left( E , + , \times \right) 에 대해 곱셈 ×\times 에 대한 군 (E∗,×)\left( E^{\ast} , \times \right) 을 생각해보면, E∗E^{\ast} 는 EE 에서 ++ 에 대한 항등원 0∈E0 \in E 을 제외한 pn−1p^{n} - 1 개의 원소와 항등원 1∈E∗1 \in E^{\ast} 를 가진다. α∈E∗\alpha \in E^{\ast} 의 오더order, 그러니까 α\alpha 로 만들어지는 순환군의 기수인 ∣α∣=∣<α>∣\left| \alpha \right| = \left| \left< \alpha \right> \right| 는 라그랑주 정리에 따라 pn−1p^{n} - 1 의 약수고, 따라서 αpn−1=1  ⟹  apn=α \alpha^{p^{n} - 1} = 1 \implies a^{p^{n}} = \alpha 를 얻는다. 다시 말해, EE 의 모든 원소는 xpn−xx^{p^{n}} - x 의 영이고 대수학의 기본정리에 따라 Zp\mathbb{Z}_{p} 의 대수적 폐포 Z‾p\overline{\mathbb{Z}}_{p} 에 포함된 기수가 pnp^{n} 인 체 EE 의 원소들은 정확히 (xpn−x)∈Zp[x]\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \mathbb{Z}_{p} [x] 의 영들이다.

Part 3-2. 최소분열성

Part 2-1과 Part 3-1에 따라 주어진 pp 와 nn 에 대해 모든 원소가 정확히 (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) 의 영들로 이루어진 체 EE 가 존재하며, FF 의 표수가 pp 라는 점에 따라 그 계수들에 대한 연산도 소체 Zp\mathbb{Z}_{p} 에서의 연산과 같았음에 주목하라. Part 2-3과 Part 1에 따라 EE 는 소체 Zp\mathbb{Z}_{p} 를 소체로 가지며 ∣E∣=pn|E| = p^{n} 을 만족해야하는 갈루아체고, 또 다시 Part 2-1에 따라 EE 는 (xpn−x)\left( x^{p^{n}} - x \right) 의 최소분열체라는 점까지 알 수 있었다.

최소분열체의 성질: f(x)∈F[x]f(x) \in F [ x ] 의 최소분열체는 모두 동형이다.

최소분열체의 성질에 따라, 주어진 pp 와 nn 에 대해서 갈루아체는 유일하다.

■

보조정리: 신입생의 꿈

그냥 알아두면 재미있는 사실로써, Part 2-2에서 등장한 등식 (α+β)pn=αpn+βpn \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} 를 신입생의 꿈freshman’s Dream이라 부른다. 이제 막 학교에 들어온 신입생 입장에서 거듭제곱이 괄호 속으로 들어갈 수 있다면 복잡한 전개 없이도 어려운 문제를 풀 수 있기 때문이다. 참고로 정수론에서는 표수에 대한 언급이 없더라도 합동식 (α+β)pn≡αpn+βpn(modp)\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} \equiv \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} \pmod{ p } 을 같은 방법으로 유도할 수 있다.

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p300. ↩︎

  2. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p302~304. ↩︎

  3. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p301 ↩︎