갈루아체
정리 1
소수 $p$ 와 자연수 $n$ 에 대해 기수가 $p^{n}$ 인 유한 체finite field를 $p^{n}$ 차 갈루아체galois field라 정의하고 $\text{GF} \left( p^{n} \right)$ 와 같이 나타낸다. 유한체는 갈루아체 뿐이고, 주어진 $p$ 와 $n$ 에 대해 갈루아체는 유일하게 존재한다.
- 여기서 유일하다는 말은 서로 다른 체라고 해도 동형사상이 존재해서 사실상 같은 체라는 뜻이다.
설명
가우스가 처음 유한체의 개념을 떠올렸을 때만해도 그 실체를 믿는 사람은 없었다고 하지만, 현재는 유한체가 존재할뿐만 아니라 유일하면서 그 구체적인 형태까지 밝혀져있다. 모든 유한체의 형태를 규명했기 때문에 쓸데 없는 연구를 할 필요가 없다.
예를 들어 원소가 $10$ 개인 체가 존재하는지는 고민할 필요조차 없으며, $\text{GF} \left( p \right) = \mathbb{Z}_{p}$ 는 정수환이기 때문에 이미 우리가 많은 것을 알고 있다. 더 궁금한 점이 있다면 추상적인 정의에 매달릴 필요 없이 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 통해 접근하면 되고, 그 반대도 마찬가지다.
증명 2
Part 1. 모든 유한체는 갈루아체다.
체 $F$ 의 유한확대체를 $E$ 라 하고 $F$ 상에서의 차수를 $n := \left[ E : F \right]$ 이라 두자.
$| F | = q$ 이라고 하면 $E$ 는 $F$ 의 $n$ 차 벡터공간이므로 $|E| = q^{n}$ 이다. 체는 단위원을 가지는데, 표수가 $0$ 이면 $\mathbb{Z}$ 와 동형인 부분환이 존재해서 무한체가 된다. 따라서 유한체의 표수는 유한한 자연수여야한다. 유한체 $E$ 의 표수를 $p \ne 0$ 라고 하면 $E$ 는 단위원 $1$ 을 가지므로 $p \cdot 1 = 0$ 이어야한다. 체는 정역이므로 $$ p \cdot 1 = ( p_{1} \cdot 1 ) ( p_{2} \cdot 1 ) = 0 $$ 을 만족하는 $p_{1}, p_{2} \in \mathbb{Z}$ 가 존재할 수 없으며, $p$ 는 반드시 소수다. 따라서 $E$ 는 소체 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 동형인 부분체를 가지며, $\left| \mathbb{Z}_{p} \right| = p$ 이므로 $|E| = p^{n}$ 다.
Part 2. 갈루아체의 존재성
Part 2-1. $x^{p^{n}} - x$ 의 제로
$\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 표수가 $p$ 인 체 $F$ 의 대수적 폐포 $\overline{F}$ 를 생각해보자.
$\overline{F}$ 는 대수적으로 닫혀있으므로, $\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{F} [ x ]$ 는 $1$ 차항으로 인수분해된다. 당장 알 수 있는 사실은 $$ x^{p^{n}} - x = ( x - 0 ) \left( x^{p^{n}-1} - 1 \right) $$ 이므로 $0$ 은 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 영이 된다. $f(x) := x^{p^{n}-1} - 1$ 의 또 다른 영 $\alpha \ne 0$ 을 생각해보면 $f \left( \alpha \right) = 0$ 이므로 $$ 0 = f \left( \alpha \right) = \alpha^{p^{n} - 1} - 1 \implies \alpha^{p^{n} - 1} = 1 $$ 이고, 이에 따라 $f(x)$ 를 $\left( x - \alpha \right)$ 의 곱으로써 나타내보면 $$ \begin{align*} f(x) =& x^{p^{n}-1} - 1 \\ =& x^{p^{n}-1} - \alpha^{p^{n}-1} \\ =& (x - \alpha ) \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) \end{align*} $$ 이다. 한편 편의 상 두번째 인수를 $$ g(x) := \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) $$ 이라고 하면 $g(x)$ 의 항의 갯수는 $p^{n} - 1$ 개다. 따라서 $x = \alpha$ 를 대입해보면 $$ g ( \alpha ) = \alpha^{p^{n} - 2} \cdot \left( p^{n} - 1 \right) = {{\alpha^{p^{n} - 1}} \over { \alpha }} \left( p^{n} - 1 \right) $$ 를 얻는다. 위에서 $\alpha \ne 0$ 는 $f(x)$ 의 영이라서 $\alpha^{p^{n}-1} - 1 = 0$ 이라 했고, 표수를 소수 $p$ 로 가정했으므로 $$ g ( \alpha ) = {{1} \over { \alpha }} \cdot (0 - 1) = - {{1} \over { \alpha }} \ne 0 $$ 이다. 따라서 $\alpha$ 는 $f(x) = 0$ 의 중근이 아니며, 이는 $\alpha$ 가 아닌 다른 영에 대해서도 같다. 결국 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 는 정확히 $p^{n}$ 개의 서로 다른 영을 갖는다.
Part 2-2. 신입생의 꿈
한편 $\alpha , \beta \in F$ 에 대해서 $\left( \alpha + \beta \right)^{p}$ 을 계산해보면 이항정리에 의해 $$ \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right)^{p} =& \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k} \alpha^{k} \beta^{p - k} \\ =& \alpha^{p} + \sum_{k=2}^{p-1} {{p!} \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} + \beta^{p} \\ =& \alpha^{p} + \beta^{p} + p \sum_{k=2}^{p-1} {{ ( p - 1 )! } \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} \end{align*} $$ $F$ 의 표수가 $p$ 이므로 마지막 항은 $0$ 이 되고, 따라서 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p} = \alpha^{p} + \beta^{p} $$ 한 번 더 양변에 $p$ 승을 취하면 $$ \left( \left( \alpha + \beta \right)^{p} \right)^{p} = \left( \alpha^{p} \right)^{p} + \left( \beta^{p} \right)^{p} $$ 정리하면 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{2}} =\alpha^{p^2} + \beta^{p^2}$ 이고, 이를 $n$ 번 반복하면 다음을 얻는다. $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$
이제 $\mathbb{Z}_{p}$ 의 대수적 폐포 $\overline{ \mathbb{Z}_{p} }$ 를 생각해보자.
$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{ \mathbb{Z}_{p} } [ x ]$ 의 영을 모두 모두 모아놓은 집합을 $K \subset \overline{ \mathbb{Z}_{p} } $, 그리고 그 원소를 $\alpha , \beta \in K$ 라고 두자.
Part 2-3. $K$ 는 갈루아체다.
- (i) 덧셈에 대한 닫힘: $$ \begin{cases} \alpha^{p^{n}} - \alpha = 0 \\ \beta^{p^{n}} - \beta = 0 \end{cases} $$ 이다. 양변끼리 더하면 Part 2-2 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n}$ 에 의해 $$ \left( \alpha^{p^{n}} + \beta^{p^{n}} \right) - ( \alpha + \beta ) = \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} - ( \alpha + \beta ) = 0 $$ 이므로, $( \alpha + \beta ) \in K$ 이다.
- (ii) 덧셈에 대한 항등원: $0^{p^{n}} - 0 = 0$ 이므로, $0 \in K$ 이다.
- (iii) 덧셈에 대한 역원: $\left( - \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \alpha$ 이다.
- $p=2$ 면 $-1 = 1$ 이므로 $\left( -\alpha \right) = \alpha \in K$ 이다.
- $p \ne 2$ 는 홀수인 소수이므로 $\left( - \alpha \right)^{p^{n}} - ( - \alpha ) = 0$, 즉 $( - \alpha ) \in K$ 이다.
- (iv) 곱셈에 대한 닫힘 : $\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} = \alpha^{p^{n}} \beta^{p^{n}} = \alpha \beta$ 이므로 $\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} - \alpha \beta = 0$, 즉 $\alpha \beta \in K$ 이다.
- (v) 곱셈에 대한 항등원: $1^{p^{n}} - 1 = 0$ 이므로, $1 \in K$ 이다.
- (vi) 곱셈에 대한 역원: $\alpha \ne 0$ 에 대해 $\displaystyle \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \alpha$ 의 역수를 취하면 $\displaystyle {{1} \over {\left( \alpha \right)^{p^{n}} }} = {{1} \over { \alpha }}$, 즉 $$ \left( {{1} \over { \alpha }} \right)^{p^{n}} - {{1} \over { \alpha }} = 0 $$ 이므로 $\alpha^{-1} \in K$ 이다.
- (vii): $| K | = p^{n}$ : $\mathbb{Z}_{p}$ 의 표수는 $p$ 이므로, Part 2-1에 의해 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 는 정확히 $p^{n}$ 개의 서로 다른 영을 갖는다.
따라서 $K$ 는 $p^{n}$ 차 갈루아체다.
Part 3. 갈루아체의 유일성
Part 1에서 $F$ 의 표수는 소수 $p$ 고, Part 2-1에서 $F$ 의 대수적 폐포 $\overline{F}$ 에서의 연산은 $F$ 의 단위원 $1_{F}$ 를 $1_{\mathbb{Z}_{p}}$ 로 보았을 때 사실 $\mathbb{Z}_{p}$ 의 대수적 폐포 $\overline{\mathbb{Z}}_{p}$ 에서의 연산과 다름 없었음을 지적해두겠다.
Part 3-1. 기수가 $p^{n}$ 인 체 $E \subset \overline{\mathbb{Z}}_{p}$ 의 정체 3
기수가 $p^{n}$ 인 체 $\left( E , + , \times \right)$ 에 대해 곱셈 $\times$ 에 대한 군 $\left( E^{\ast} , \times \right)$ 을 생각해보면, $E^{\ast}$ 는 $E$ 에서 $+$ 에 대한 항등원 $0 \in E$ 을 제외한 $p^{n} - 1$ 개의 원소와 항등원 $1 \in E^{\ast}$ 를 가진다. $\alpha \in E^{\ast}$ 의 오더order, 그러니까 $\alpha$ 로 만들어지는 순환군의 기수인 $\left| \alpha \right| = \left| \left< \alpha \right> \right|$ 는 라그랑주 정리에 따라 $p^{n} - 1$ 의 약수고, 따라서 $$ \alpha^{p^{n} - 1} = 1 \implies a^{p^{n}} = \alpha $$ 를 얻는다. 다시 말해, $E$ 의 모든 원소는 $x^{p^{n}} - x$ 의 영이고 대수학의 기본정리에 따라 $\mathbb{Z}_{p}$ 의 대수적 폐포 $\overline{\mathbb{Z}}_{p}$ 에 포함된 기수가 $p^{n}$ 인 체 $E$ 의 원소들은 정확히 $\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \mathbb{Z}_{p} [x]$ 의 영들이다.
Part 3-2. 최소분열성
Part 2-1과 Part 3-1에 따라 주어진 $p$ 와 $n$ 에 대해 모든 원소가 정확히 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 영들로 이루어진 체 $E$ 가 존재하며, $F$ 의 표수가 $p$ 라는 점에 따라 그 계수들에 대한 연산도 소체 $\mathbb{Z}_{p}$ 에서의 연산과 같았음에 주목하라. Part 2-3과 Part 1에 따라 $E$ 는 소체 $\mathbb{Z}_{p}$ 를 소체로 가지며 $|E| = p^{n}$ 을 만족해야하는 갈루아체고, 또 다시 Part 2-1에 따라 $E$ 는 $\left( x^{p^{n}} - x \right)$ 의 최소분열체라는 점까지 알 수 있었다.
최소분열체의 성질에 따라, 주어진 $p$ 와 $n$ 에 대해서 갈루아체는 유일하다.
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보조정리: 신입생의 꿈
그냥 알아두면 재미있는 사실로써, Part 2-2에서 등장한 등식 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$ 를 신입생의 꿈freshman’s Dream이라 부른다. 이제 막 학교에 들어온 신입생 입장에서 거듭제곱이 괄호 속으로 들어갈 수 있다면 복잡한 전개 없이도 어려운 문제를 풀 수 있기 때문이다. 참고로 정수론에서는 표수에 대한 언급이 없더라도 합동식 $\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} \equiv \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} \pmod{ p }$ 을 같은 방법으로 유도할 수 있다.