📂전자기학

일정하지 않은 전기장에 의한 극성분자의 정렬

설명 ¹

극성분자는 외부 전기장이 없을 때에도 쌍극자 모멘트를 갖는다. 만약 일정한 외부 전기장이 있다면 쌍극자 모멘트가 전기장과 같은 방향으로 정렬한다.

그런데 외부 전기장이 일정하지 않다면 $\mathbf{F}_+$와 $\mathbf{F}_-$가 같지 않기 때문에 토크와 더불어 알짜힘도 받는다. 알짜힘은 다음과 같이 계산할 수 있다. $\mathbf{E}_\pm$를 $\pm q$에서의 전기장이라고 하면

$$ \mathbf{F} = \mathbf{F}_+ + \mathbf{F}_- = q(\mathbf{E}_+ - \mathbf{E}_-) = q(\Delta \mathbf{E}) $$

$$ \begin{equation} \Delta \mathbf{E} = \Delta E_{x} \hat{\mathbf{x}} + \Delta E_{y} \hat {\mathbf{y}} + \Delta E_{z} \hat {\mathbf{z}} \label{1} \end{equation} $$

쌍극자의 길이가 아주 짧다면 $\Delta E_{x}$를 전미분 $dE_{x}$에 근사시킬 수 있다.$\mathbf{d} = dx \hat{\mathbf{x}} + dy \hat {\mathbf{y}} + dz \hat {\mathbf{z}}$

$$ \begin{align*} \Delta E_{x} \approx dE_{x} =&\ \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x} dx + \dfrac{\partial E_{x}}{\partial y}dy + \dfrac{\partial E_{z}}{\partial z}dz \\ =&\ \left( \dfrac{\partial E_{x}}{\partial x}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial E_{x}}{\partial y} \hat {\mathbf{y}} + \dfrac{\partial E_{z}}{\partial z} \hat {\mathbf{z}} \right) \cdot (dx \hat {\mathbf{x}} + dy \hat {\mathbf{y}} + dz \hat {\mathbf{z}} ) \\ =&\ \nabla E_{x} \cdot \mathbf{d} \end{align*} $$

$E_{y}$와 $E_{z}$도 같은 방식으로 구해서 $\eqref{1}$에 대입하면

$$ \begin{align*} \Delta \mathbf{E} =&\ (\nabla E_{x} \cdot \mathbf{d} ) \hat {\mathbf{x}} +( \nabla E_{y} \cdot \mathbf{d}) \hat {\mathbf{y}} +( \nabla E_{z} \cdot \mathbf{d} )\hat {\mathbf{z}} \\ =&\ \left( dx\dfrac{\partial E_{x}}{\partial x} + dy\dfrac{\partial E_{x}}{\partial y} + dz \dfrac{\partial E_{x} }{\partial z} \right) \hat {\mathbf{x}} + \left( dx\dfrac{\partial E_{y}}{\partial x} + dy\dfrac{\partial E_{y}}{\partial y} + dz \dfrac{\partial E_{y} }{\partial z} \right) \hat {\mathbf{y}} \\ &+ \left( dx\dfrac{\partial E_{z}}{\partial x} + dy\dfrac{\partial E_{z}}{\partial y} + dz \dfrac{\partial E_{z} }{\partial z} \right) \hat {\mathbf{z}} \\ =&\ \left( dx\dfrac{\partial }{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right)E_{x} \hat {\mathbf{x}} + \left( dx\dfrac{\partial}{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right) E_{y} \hat {\mathbf{y}} \\ &+ \left( dx\dfrac{\partial }{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right) E_{z}\hat {\mathbf{z}} \\ =&\ \left( dx\dfrac{\partial }{\partial x} + dy\dfrac{\partial }{\partial y} + dz \dfrac{\partial }{\partial z} \right) \left( E_{x} \hat {\mathbf{x}} + E_{y} \hat {\mathbf{y}} +E_{z}\hat {\mathbf{z}} \right) \\ =&\ \left[ (dx \hat {\mathbf{x}} + dy \hat {\mathbf{y}} + dz \hat {\mathbf{z}} ) \cdot \left( \dfrac{\partial }{\partial x}\hat {\mathbf{x}} + \dfrac{\partial }{\partial y} \hat {\mathbf{y}}+ \dfrac{\partial }{\partial z} \hat {\mathbf{z}}\right)\right] \left( E_{x} \hat {\mathbf{x}} + E_{y} \hat {\mathbf{y}} +E_{z}\hat {\mathbf{z}} \right) \\ =&\ (\mathbf{d} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \end{align*} $$

따라서 극성분자가 받는 알짜힘은 $\mathbf{F}$는

$$ \begin{align*} \mathbf{F} =&\ q(\Delta \mathbf{E} ) \\ =&\ (q\mathbf{d} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \\ =&\ (\mathbf{p} \cdot \nabla ) \mathbf{E} \end{align*} $$

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