📂추상대수

작도가능수

정의

$1$ 을 포함해 유한번의 사칙연산과 제곱근을 취함으로써 얻을 수 있는 수를 작도가능^{constructible}하다고 한다.

설명

작도가능이라는 것은 원래 고대 그리스의 논증 기하에서 논의되던 개념이었으나, 현대대수학을 동원하면 캠퍼스로 원을 그리고 자로 선을 그리는 과정이 딱히 필요 없어진다. 어떻게 이 연산들이 작도를 대신하는지 살펴보자.

덧셈과 뺄셈

덧셈과 뺄셈은 선분의 끝에 더하거나 빼고싶은 수를 반지름으로 갖는 원을 그림으로써 얻는다.

곱셈과 나눗셈

곱셈과 나눗셈은 평행선과 삼각형의 닮음을 이용해서 얻는다.

제곱근

제곱근은 직각삼각형의 닮음을 이용해서 얻는다.

유리수

$1$ 을 유한번 더함으로써 $\mathbb{N}$ 을 얻고, $1-1 = 0$ 으로써 $0$ 을 얻고, $0$ 에서 $1$ 을 유한번 뺌으로써 $\mathbb{Z}$ 를 얻고, 정수끼리 나눔으로써 $\mathbb{Q}$ 를 얻는다. 따라서 작도가능한 수의 집합은 적어도 유리수체보다는 크며, 루트를 허용함으로써 조금 더 큰 체를 얻을 수 있다. 결론적으로, 모든 유리수는 작도가능이다.

대수적 수와 초월수

무리수라도 얼마든지 작도가능일 수 있다. 예를 들어 무리수 $\sqrt{ 1+ \sqrt{3} }$ 는 $3$ 에 루트를 취하고 $1$ 을 더한 뒤 다시 루트를 취해서 얻을 수 있으므로 작도가능이다. 그러나 $\pi$ 과 같은 초월수는 작도가능이 아니다.

정의에서 작도가능수는 대수적 수가 됨을 쉽게 짐작할 수 있는데, 예를 들어 $\sqrt{2}$ 는 $2$ 에 루트를 취해서 얻을 수 있는 동시에 $(x^{2} - 2 ) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 의 영으로써 대수적 수이기도 하다. 거꾸로 계산해보면 $a = \sqrt{ 1+ \sqrt{3} }$ 와 같은 수는 $$\begin{align*} & a^2 = 1 + \sqrt{3} \\ &=a^2 - 1 = \sqrt{3} \\ =& \left( a^2 - 1 \right)^2 = 3 \\ =& a^4 - 2 a^2 - 2 = 0 \end{align*}$$ 이므로 $\left( a^4 - 2 a^2 - 2 \right) \in \mathbb{Q} [ x ]$ 의 영으로써 대수적 수이기도 하다.

정리

• [1]: 작도가능수는 대수적 수다.
• [2]: $\gamma \not\in \mathbb{Q}$ 이 작도가능하면 $i=2, \cdots , n$ 에 대해 $$\left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} , a_{i} \right) : \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right) \right] = 2 \\ \mathbb{Q} ( \gamma) = \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right)$$ 를 만족하는 유한수열 $\left\{ a_{i} \right\}_{i=1}^{n}$ 이 존재해서 어떤 $r \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$\left[ \mathbb{Q} \left( \gamma \right) : \mathbb{Q} \right] = 2^{r}$$

증명

[1]

작도가능의 정의에 의해 자명하다.

■

[2]

$$\left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} , a_{i} \right) : \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right) \right] = 2$$ 이라는 것은 어떤 $q \in \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right)$ 에 대해 $a_{i} = \sqrt{q}$ 라는 뜻이다. 이러한 $a_{i}$ 를 첨가한다는 것은 기존의 $\mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i-1} \right)$ 에 존재하는 어떤 $q_{1} a_{1} + \cdots + q_{i-1} a_{i-1}$ 이라는 원소에 $a_{i}$ 를 더하고 뺀 뒤 유리수배를 할 수 있다는 의미로, $\mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{i} \right)$ 는 유한번의 사칙연산과 제곱근으로 얻은 작도가능수들을 유한번만큼 사칙연산을 함으로써 얻은 수들의 집합이 된다.

$\gamma$ 가 작도가능다는 것은 이러한 연산과정이 존재한다는 뜻이므로, $\mathbb{Q} ( \gamma) = \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right)$ 을 만족하는 유한수 $n \in \mathbb{N}$ 역시 존재한다.

유한확대체의 성질: $E$ 가 $F$ 의 유한확대체, $K$ 가 $E$ 의 유한확대체라고 하자.

• [2]: $$[E : F] = 1 \iff E = F$$
• [3]: $$[K : F] = [K : E ] [E : F]$$

그러면 유한확대체의 성질에서 $$\begin{align*} 2^n =& \left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right) : \mathbb{Q} \right] \\ =& \left[ \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right) : \mathbb{Q} ( \gamma ) \right] \left[ \mathbb{Q} ( \gamma ) : \mathbb{Q} \right] \end{align*}$$ 한편 $\mathbb{Q} ( \gamma) = \mathbb{Q} \left( a_{1} , \cdots , a_{n} \right)$ 이므로 다음이 성립한다. $$2^n = \left[ \mathbb{Q} ( \gamma ) : \mathbb{Q} \right]$$

■