📂추상대수

추상대수학에서의 벡터 공간

정의 ¹

체 $F$ 와 아벨군 $V$ 의 모든 $\alpha , \beta \in F$ 와 $x, y \in V$ 가 다음의 조건을 만족하면 $V$ 를 $F$ 상의 벡터 공간^{vector space}이라고 한다. $F$ 의 원소를 스칼라^scalar, $V$ 의 원소를 벡터^vector라 한다.

• (i): $\alpha x \in V$
• (ii): $\alpha ( \beta x) = ( \alpha \beta ) x$
• (iii): $\left( \alpha + \beta \right) x = \alpha x + \beta x$
• (iv): $\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$
• (v): $1 x = x$

첨수집합 $I$ 에 대해 $V$ 의 어떤 부분집합 $M \subset V$ 을 $M := \left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ 이라 두자.

1. 어떤 $\left\{ \alpha_{i} \right\}_{ i \in I} \subset F$ 에 대해 $\displaystyle \sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i}$ 를 $\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ 의 선형결합^{linear combination}이라 한다.
2. 모든 $\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ 에 대해 $\displaystyle \sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i} = 0$ 를 만족하는 경우가 $\alpha_{i} = 0 , \forall i \in I$ 뿐일 때 $\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I}$ 가 $F$ 상에서 선형 독립^{linearly independent of $F$}이라 한다. 그렇지 않으면 선형 종속^{linearly dependent}이라 한다.
3. $V$ 의 모든 원소가 $M$ 의 선형결합으로 나타날 수 있으면 $M$ 이 $V$ 를 생성한다^sapn고 하며, $\text{span} M = V$ 와 같이 나타낸다.
4. $\text{span} M = V$ 일 때 $M$ 이 선형독립이면 $M$ 을 $F$ 상에서 $V$ 의 기저^{basis for $V$ over $F$}라고 한다.
5. 유한 집합 $I$ 에 대해 $\text{span} M = V$ 를 만족하는 $M$ 이 존재하면 $V$ 가 유한 차원^{finite dimensional}이라 한다.
6. 유한 차원 벡터 공간 $V$ 의 기저를 $M$ 이라고 할 때, $M$ 의 기수를 $F$ 상에서 $V$ 의 차원^{dimension of $V$ over $F$}이라고 하며, $\dim V$ 과 같이 나타낸다.

설명

보통은 선형대수에서 이미 친숙해졌을 개념으로, ‘대수’라는 이름이 붙은 한 추상대수로 설명하지 못할 것도 없다. 간단한 예시로 다항함수의 환 $\mathbb{R} [ x ]$ 는 $1 , x , \cdots , x^{n}$ 를 기저로 갖는 벡터 공간이 되는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

같이보기

• 선형대수학에서의 벡터공간
• 추상대수학에서의 벡터공간

아래의 문서들에서 말하는 $F$-벡터스페이스는 사실 위 문서들의 벡터공간들과 한 치의 차이도 없다. 다만 관점이 좀 다른데, 선형대수학에서의 벡터공간이 직관적인 유클리드 공간의 추상화고 추상대수학에서의 벡터공간은 그것을 진정한 의미의 ‘대수’로 가져오는 것으로 볼 수 있다.

반대로 $R$-모듈은 $F$-벡터스페이스의 스칼라 필드 $F$ 를 스칼라 링 $R$ 으로써 일반화하는데에 그 의미가 있고, 따라서 $F$-벡터스페이스의 역사와 의미에 무관심한 네이밍으로 그 정체성을 보여주고 있다. 그룹 $G$ 의 입장에서 보자면 링 $R$ 과 새로운 연산 $\mu$ 가 첨가^添加된 것이므로 그 한역도 가군^加群이다.

• 추상대수학에서의 $R$-모듈
• 추상대수학에서의 $F$-벡터스페이스