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추상대수학에서의 벡터 공간 📂추상대수

추상대수학에서의 벡터 공간

정의 1

체 FF 와 아벨군 VV 의 모든 α,β∈F\alpha , \beta \in F 와 x,y∈Vx, y \in V 가 다음의 조건을 만족하면 VV 를 FF 상의 벡터 공간vector space이라고 한다. FF 의 원소를 스칼라scalar, VV 의 원소를 벡터vector라 한다.

  • (i): αx∈V\alpha x \in V
  • (ii): α(βx)=(αβ)x\alpha ( \beta x) = ( \alpha \beta ) x
  • (iii): (α+β)x=αx+βx\left( \alpha + \beta \right) x = \alpha x + \beta x
  • (iv): α(x+y)=αx+αy\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y
  • (v): 1x=x1 x = x

첨수집합 II 에 대해 VV 의 어떤 부분집합 M⊂VM \subset V 을 M:={xi}i∈IM := \left\{ x_{i} \right\}_{i \in I} 이라 두자.

  1. 어떤 {αi}i∈I⊂F\left\{ \alpha_{i} \right\}_{ i \in I} \subset F 에 대해 ∑i∈Iαixi\displaystyle \sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i} 를 {xi}i∈I\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I} 의 선형결합linear combination이라 한다.
  2. 모든 {xi}i∈I\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I} 에 대해 ∑i∈Iαixi=0\displaystyle \sum_{i \in I} \alpha_{i} x_{i} = 0 를 만족하는 경우가 αi=0,∀i∈I\alpha_{i} = 0 , \forall i \in I 뿐일 때 {xi}i∈I\left\{ x_{i} \right\}_{i \in I} 가 FF 상에서 선형 독립linearly independent of FF이라 한다. 그렇지 않으면 선형 종속linearly dependent이라 한다.
  3. VV 의 모든 원소가 MM 의 선형결합으로 나타날 수 있으면 MM 이 VV 를 생성한다sapn고 하며, spanM=V\text{span} M = V 와 같이 나타낸다.
  4. spanM=V\text{span} M = V 일 때 MM 이 선형독립이면 MM 을 FF 상에서 VV 의 기저basis for VV over FF라고 한다.
  5. 유한 집합 II 에 대해 spanM=V\text{span} M = V 를 만족하는 MM 이 존재하면 VV 가 유한 차원finite dimensional이라 한다.
  6. 유한 차원 벡터 공간 VV 의 기저를 MM 이라고 할 때, MM 의 기수를 FF 상에서 VV 의 차원dimension of VV over FF이라고 하며, dim⁡V\dim V 과 같이 나타낸다.

설명

보통은 선형대수에서 이미 친숙해졌을 개념으로, ‘대수’라는 이름이 붙은 한 추상대수로 설명하지 못할 것도 없다. 간단한 예시로 다항함수의 환 R[x]\mathbb{R} [ x ] 는 1,x,⋯ ,xn1 , x , \cdots , x^{n} 를 기저로 갖는 벡터 공간이 되는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

같이보기

아래의 문서들에서 말하는 FF-벡터스페이스는 사실 위 문서들의 벡터공간들과 한 치의 차이도 없다. 다만 관점이 좀 다른데, 선형대수학에서의 벡터공간이 직관적인 유클리드 공간의 추상화고 추상대수학에서의 벡터공간은 그것을 진정한 의미의 ‘대수’로 가져오는 것으로 볼 수 있다.

반대로 RR-모듈은 FF-벡터스페이스의 스칼라 필드 FF 를 스칼라 링 RR 으로써 일반화하는데에 그 의미가 있고, 따라서 FF-벡터스페이스의 역사와 의미에 무관심한 네이밍으로 그 정체성을 보여주고 있다. 그룹 GG 의 입장에서 보자면 링 RR 과 새로운 연산 μ\mu 가 첨가添加된 것이므로 그 한역도 가군加群이다.

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p274~280. ↩︎