📂추상대수

단순확대체

정의 ¹

$F$ 의 확대체 $E$ 가 어떤 $\alpha \in E$ 에 대해 $E = F( \alpha )$ 이면 $E$ 를 $F$ 의 단순확대체^{simple Extension}라 한다.

설명

$F ( \alpha )$ 은 쉽게 말해 $F$ 에 없던 $\alpha$ 를 하나^simple만 넣어서 확장한 것으로 볼 수 있다. 실수체 $\mathbb{R}$ 으로 말할 것 같으면 그 확대체 $\mathbb{C}$ 의 $i \in \mathbb{C}$ 를 넣으면 $\mathbb{R} ( i ) = \mathbb{C}$ 가 된다.

중요한 팩트로써 $\alpha \in E$ 에 대해 $E = F ( \alpha )$ 면 모든 $\beta \in E$ 는 $$\beta = b_{0} + b_{1} \alpha + \cdots + b_{n} \alpha^n$$ 와 같이 유일하게 나타난다. 이 때 $\left\{ b_{k} \right\}_{k =1}^{n}$ 은 $F$ 의 원소로써, 실수체의 단순확대체로써의 복소수체를 생각해보면 모든 복수수 $z \in \mathbb{C}$ 는 어떤 $x , y \in \mathbb{R}$ 에 대해 $$z = x_{0} + y_{0} i + x_{1} i^2 + y_{1} i^3 + \cdots = x + i y$$ 으로 나타남을 쉽게 확인해볼 수 있다.

한편 단순확대체의 재미있는 예로써, 정수에 복소수 $i$ 와 $\omega$ 를 첨가한 가우스 정수 $\mathbb{Z} [i]$ 와 아이젠슈타인 정수 $\mathbb{Z} [\omega]$ 를 생각해볼 수 있다.