📂추상대수

소체

빌드업

환 $R$ 의 모든 원소 $r$ 에 대해 $n \cdot r = 0$ 을 만족하는 가장 큰 자연수 $n$ 을 $R$ 의 표수^{characteristic}라 정의한다. 만약 그런 자연수가 존재하지 많으면 $0$ 을 $R$ 의 표수로 정의한다. 곱셈에 대한 항등원, 즉 단위원을 갖는 환은 다음과 같은 성질을 가진다.

• [1]: 단위원을 갖는 $R$ 의 표수가 $n>1$ 이면 $R$ 은 $\mathbb{Z}_{n}$ 과 동형인 부분환을 가진다.
• [2]: 단위원을 갖는 $R$ 의 표수가 $0$ 이면 $R$ 은 $\mathbb{Z}$ 과 동형인 부분환을 가진다.

이와 비슷하게 체 $F$ 는 소수 $p$ 에 대해 다음과 같은 성질을 가진다.

• [1]’: $F$ 의 표수가 $p$ 면 $F$ 는 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 동형인 부분체를 가진다.
• [2]’: $F$ 의 표수가 $0$ 이면 $F$ 는 $\mathbb{Q}$ 와 동형인 부분체를 가진다.

정의 ¹

여기서 정수체 $\mathbb{Z}_{p}$ 와 유리수체 $\mathbb{Q}$ 를 소체^{prime field}라 한다.

설명

소^prime라는 글자가 붙은만큼 대단히 중요한 필드다.

[1]‘과 [2]‘의 역을 생각해보면 이들 소체와 동형이 되도록 하는 부분체가 없다면 $F$ 는 체가 아니게 된다. 따라서 체가 되는지 판정하는데에 유용하게 쓰일 수 있으며, 특히 우리에게 친숙하다는 장점이 있다.

표수가 닐래디컬과는 조금 헷갈릴 수 있는데, 각각 덧셈 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} r = nr = 0$ 과 곱셈 $\displaystyle \prod_{i=1}^{n} a = a^{n} = 0$ 에 관한 개념이라고 보면 된다. 또한 표수는 조건을 만족하는 최소한의 $n$, 닐래디컬은 조건을 만족하는 $a$ 에 관심이 있다.