📂추상대수

주 아이디얼

정의 ¹

단위원을 가지는 가환환 $R$ 의 원소 $a$ 로 생성되는 $\left< a \right>$ 를 $a$ 에 의해 생성되는 주 아이디얼^{principal Ideal}이라고 한다.

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• 곱셈에 대한 항등원 $1$ 을 단위원이라 한다.

설명

$\left< a \right> := \left\{ r a \mid r\ \in R \right\}$ 의 표기는 순환군과 같지만 실제 순환군보다는 조금 더 큰 구조를 이룬다.

예로써 $\mathbb{Z}$ 의 모든 아이디얼 $n \mathbb{Z} = \left< n \right> = \left\{ \cdots , -2n , -n , 0 , n , 2n , \cdots \right\}$ 은 주 아이디얼이다.

처음 주 아이디얼을 접할 땐 뜬구름 잡는 느낌이 들 수밖에 없다. 당장은 쓸모가 없고, 이후 여러가지 좋은 성질을 갖는 정역을 논의할 때 유용하다. 다음의 정리 중 특히 [2]와 [3]은 각각 PID와 UFD로 가는 교두보가 되므로, 적어도 한 번은 직접 손으로 증명해보는 것을 추천한다.

정리

체 $F$ 에 대해 $p(x), r(x), s(x) \in F [ x ]$ 라고 하자.

1. $F [ x ]$ 의 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다.
2. $\left< p(x) \right> \ne \left\{ 0 \right\}$ 가 극대 아이디얼 $\iff$ $p(x)$ 는 $F$ 상에서의 기약원
3. $F$ 상에서의 기약원 $p(x)$ 가 $r(x) s(x)$ 를 나누면 $p(x)$ 는 $r(x)$ 혹은 $s(x)$ 을 나눈다.

증명

[1]

$F [ x ]$ 의 아이디얼 $N \ne \left\{ 0 \right\}$ 에서 가장 차수가 낮은 다항함수 $g(x)$ 를 생각해보자.

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Case 1. $\deg g = 0$

$g(x)$ 는 상수함수이므로 $g(x) \in F$ 이고, $F$ 를 체로 가정했으므로 $g(x)$ 는 $F$ 의 단원인 동시에 $F [ x ]$ 의 단원이다. $g(x)$ 가 $F [ x ]$ 의 단원이므로 $N = F [ x ] = \left< 1 \right>$ 이고, 따라서 $N$ 은 주 아이디얼이다.

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Case 2. $\deg g \ge 1$

임의의 $f(x) \in N$ 는 나눗셈 정리에 따라 $f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ 으로 나타난다. $N$ 은 아이디얼이므로 $$f(x) - g(x) q(x) = r(x) \in N$$ 인데, 가장 차수가 낮은 다항함수는 $g(x)$ 이므로 $r(x)=0$ 이어야한다.

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다시 말해 임의의 $f(x) \in N$ 는 항상 $f(x) = g(x) q(x)$ 로 나타낼 수 있어 $N = \left< g(x) \right>$ 이고, 따라서 $N$ 은 주 아이디얼이다.

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[2]

$( \implies )$

$p(x)$ 가 기약원이 아니라서 $p(x) = f(x) g(x)$ 와 같이 인수분해된다고 가정하자.

$\left< p(x) \right>$ 가 $F [ x ]$ 의 극대 아이디얼이므로 $\left< p(x) \right> \ne F [ x ]$ 이고 $p(x) \notin F$ 이다. 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 $\left( f(x) g(x) \right) \in \left< p(x) \right>$ 면 $f(x) \in \left< p(x) \right>$ 또는 $g(x) \in \left< p(x) \right>$ 이어야한다. 그런데 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 차수는 $p(x)$ 의 차수보다 작을 수 없어서 가정에 모순이고, $p(x)$ 는 $F$ 상에서의 기약원이 된다.

$( \impliedby )$

$\left< p(x) \right>$ 가 극대 아이디얼이 아니라서 $\left< p(x) \right> \subsetneq N \subsetneq F [ x ]$ 를 만족하는 아이디얼 $N$ 이 존재한다고 가정하자.

정리 [1]에 의해 $N$ 은 $F [ x ]$ 의 주 아이디얼이므로 어떤 $g(x) \in F [ x ]$ 에 대해 $N := \left< g(x) \right>$ 라고 둘 수 있다. 가정에서 $\left< p(x) \right> \subset N$ 이므로 어떤 $q(x) \in F [ x ]$ 에 대해 $$p(x) = g(x) q(x)$$ 와 같이 나타난다. 그런데 $p(x)$ 은 $F$ 상에서의 기약원이므로 $g(x)$ 나 $q(x)$ 중 하나는 상수여야한다.

• 만약 $g(x)$ 가 상수면 $g(x)$ 는 $F [ x ]$ 의 단원이므로 $$N = F [ x ]$$
• 만약 $q(x)$ 가 상수면 어떤 $c \in F [ x ]$ 에 대해 $\displaystyle g(x) = {{1} \over {c}} p(x)$ 이므로 $$N = \left< g(x) \right> = \left< p(x) \right>$$

$g(x)$ 가 상수든 $q(x)$ 가 상수든 가정에 모순이므로 $\left< p(x) \right>$ 는 $F [ x ]$ 의 극대 아이디얼이 된다.

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[3]

$p(x)$ 가 $r(x) s(x)$ 를 나눈다고 하면 $r(x) s(x) \in \left< p(x) \right>$이다. 그런데 $p(x)$ 가 $F$ 상에서의 기약원이므로 정리 [2]에 의해 $\left< p(x) \right>$ 는 극대 아이디얼이고 따라서 소 아이디얼이다. 즉 $r(x) s(x) \in \left< p(x) \right>$ 면 $r(x) \in \left< p(x) \right>$ 또는 $s(x) \in \left< p(x) \right>$ 인데, 이는 $p(x)$ 가 $r(x)$ 혹은 $s(x)$ 을 나눈다는 뜻이다.

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