📂추상대수

소 아이디얼

정의 ¹

가환환 $R$ 의 아이디얼 $P \ne R$ 가 $a, b \in R$ 에 대해 $ab \in P$ 이면 $a \in P$ 또는 $b \in P$ 일 때, $P$ 가 $R$ 에서 소 아이디얼^{prime Ideal}이라 한다.

설명

소^prime라는 명칭에서 알 수 있듯 곱해진 원소를 쪼개는 것에서 출발한다.

예로써 정수환 $\mathbb{Z}$ 을 생각해보면 $2 \mathbb{Z}$ 의 모든 원소들은 $2k$ 와 같은 형태로 나타나고, $2 \in 2 \mathbb{Z}$ 이므로 소 아이디얼이 된다. 같은 논리로 임의의 소수 $p$ 에 대해 $p \mathbb{Z}$ 는 모두 $\mathbb{Z}$ 의 소 아이디얼이 된다. 그러나 $6 \mathbb{Z}$ 을 생각해보면 $2 \cdot 3 \in 6 \mathbb{Z}$ 이지만 $2 \notin 6 \mathbb{Z}$ 이고 $3 \notin 6\mathbb{Z}$ 이므로 $6 \mathbb{Z}$ 은 $\mathbb{Z}$ 에서 소 아이디얼이 될 수 없다.

한편 소 아이디얼은 정역과 관련해서 다음의 성질을 가진다. 이는 극대 아이디얼과 체의 관계와 유사하다.

정리

가환환 $R$ 이 단위원 $1_{R}$ 을 갖는다고 하자.

• $P$ 는 $R$ 의 소 아이디얼 $\iff$ $R / P$ 은 정역

증명

$( \implies )$

정역의 정의

1. 환 $R$ 에 대해 $ab = 0$ 을 만족시키는 $0$ 이 아닌 $a,b \in R$ 을 영인자^{zero Divisor}라 한다.
2. 단위원 $1 \ne 0$ 을 가진 $D$ 가 영인자를 가지지 않으면 정역^{integral Domain}이라 한다.

$xy + P$ 가 $R/P$ 의 항등원 $(0 + P)$ 이라고 하면 $xy \in P$ 이다. $P$ 는 소 아이디얼이므로 $x \in P$ 또는 $y \in P$ 여야한다.

• $x \in P$ 라고 하면 $x + P = P = 0 + P$ 이므로 $x = 0$
• $y \in P$ 라고 하면 $y + P = P = 0 + P$ 이므로 $y = 0$

따라서 $R/P$ 는 영인자를 가지지 못하고, $R / P$ 는 정역이 된다.

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$( \impliedby )$

$xy \in P$ 라고 하자.

$$ (x + P) ( y + P ) = xy + P = P = 0 + P $$ $0 + P$ 은 정역 $R/P$ 의 항등원이므로 $(x + P) = (0 + P )$ 또는 $(y + P) = (0 + P )$ 여야한다.

• 만약 $(x + P) = (0 + P ) = P$ 이라고 하면, 곧 $x \in P$ 이다.
• 만약 $(y + P) = (0 + P ) = P$ 이라고 해도, 곧 $y \in P$ 이다.

따라서 $P$ 는 소 아이디얼이 된다.

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한편 극대 아이디얼과 소 아이디얼에 대해 아래의 따름정리를 얻을 수 있다. 체는 우선 정역이라는 점에서 당연하다. $I$ 가 $R$ 의 극대 아이디얼이면 $R / I$ 는 체고, 체는 정역이므로 $I$ 는 소 아이디얼이다.

따름정리

단위원 $1_{R}$ 을 갖는 가환환 $R$ 의 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다.