📂추상대수

극대 아이디얼

정의 ¹

환 $R$ 의 아이디얼 중 $R$ 이외의 어떤 아이디얼 $N \ne R$ 에도 포함되지 않는 아이디얼 $M \ne R$ 을 $R$ 의 극대 아이디얼^{maximal Ideal}이라 한다. 다시 말해, $M \subsetneq R$ 이 극대 아이디얼이라는 것은 다음과 같다. $$ \nexists N : M \subsetneq N \subsetneq R $$

설명

대수학에서 말하는 ‘맥시멀’는 집합론에서의 맥시멀과 거의 똑같다.

당연히 정의만으론 유일성을 보장할 수 없는데, 예로써 정수환 $\mathbb{Z}$ 에 대해 $2 \mathbb{Z}$, $3 \mathbb{Z}$ 은 둘 모두 $\mathbb{Z}$ 외의 초아이디얼^superideal이 존재 하지 않아 $\mathbb{Z}$ 의 극대 아이디얼이 된다. 같은 논리로 임의의 소수 $p$ 에 대해 $p \mathbb{Z}$ 는 모두 $\mathbb{Z}$ 의 극대 아이디얼이 된다.

한편 극대 아이디얼은 체^field와 관련해서 다음의 성질을 가진다. 이는 소 아이디얼과 정역의 관계와 유사하다.

정리

가환환 $R$ 이 단위원 $1_{R}$ 을 갖는다고 하자.

• $M$ 은 $R$ 의 극대 아이디얼 $\iff$ $R / M$ 은 체

증명

$( \implies )$

$R / M$ 은 단위원 $( 1_{R} + M )$ 을 갖는 가환환이다. $R$ 의 항등원이 아닌 $a \notin M$ 에 대해 $( a + M ) \in R / M$ 이라고 두면 모든 $r \in R$ 에 대해 $a r \in R$ 이고, $M$ 이 $R$ 의 극대 아이디얼이므로 $$ R = M + a R $$ 이다. 즉 $$ 1_{R} = m + ar $$ 을 만족하는 $m \in M$, $r \in R$ 이 존재한다는 것인데, 이는 앞서 언급했듯 $R / M$ 이 $( 1_{R} + M )$ 을 가지므로 $$ 1_{R} + M = ar + M $$ 와 같이 나타낼 수 있다. 따로 묶어내면 $$ 1_{R} + M = (a + M)(r + M) $$ 이므로, $M$ 에서 항등원이 아닌 모든 $(a + M)$ 에 대해 역원 $(a + M)^{-1} = (r + M)$ 이 존재한다. 따라서 $R / M$ 은 체가 된다.

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$( \impliedby )$

$M$ 이 극대가 아니게 되도록 하는, 즉 $M \subsetneq N \subsetneq R$ 을 만족하는 아이디얼 $N \triangleleft R$ 가 존재한다고 가정하자.

그러면 $M$ 에는 속하지 않지만 $N$ 에는 속하는 어떤 원소 $n \in N$ 역시 존재할 것이다. $R / M$ 은 체로 두었으므로 $$ (n + M) (s + M ) = ns + M = 1_{R} + M $$ 을 만족하는 $s \in R$ 가 존재해야한다. 이제 $n ' := ( 1 - ns ) \in M \subsetneq N$ 이라 두면 $$ 1_{R} = ( n' + ns ) \in N $$ 이다. 그런데 아이디얼 $N$ 이 단원 $1_{R}$ 을 가지므로 $N = R$ 인데, 이는 가정에 모순이다.

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