📂추상대수

단원을 가지는 아이디얼

정리 ¹

• [1]: 단위원 $1$ 을 갖는 환 $R$ 의 아이디얼 $I$ 가 단원을 가지면 $I = R$
• [2]: 체 $F$ 는 $\left\{ 0 \right\}$, $F$ 외의 아이디얼을 가지지 않는다.

설명

정리 [1]은 아이디얼에 단원이 있다는것만으로 전체가 되어버린다는 정리로, 귀류법을 사용한 증명에 빈번하게 쓰이는 보조정리다. 또한 단위원은 단원이라는 점에서, 멀쩡한 아이디얼이라면 $1$ 을 갖지 않는다는 것을 보장해주기도 한다. 예로써 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼은 $$n \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2n , -n , 0 , n , 2n , \cdots \right\}$$ 과 같은 것들이 있고, $1$ 이 포함되는 순간 $1 \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ 그 자체가 된다.

정리 [2]는 체가 제대로 생겨먹은^{proper Nontrivial} 아이디얼을 갖지 못한다는 뜻이다. 이것은 사실상 아이디얼이 환만의 개념이라는 점을 시사한다.

증명

[1]

$I$ 에 포함된 단원 중 하나를 $u$ 라고 하자.

$r : = u^{-1}$ 이라고 잡으면 $u^{-1} u = 1$ 이고, $r I \subset I$ 이므로 $r \cdot u = 1$ 역시 $I$ 에 포함된다. 아이디얼의 정의에서 모든 $r \in R$ 에 대해 $r I \subset I$ 이었으므로, $r \cdot 1 = r \in I$ 이고 $R \subset I$

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[2]

$F$ 는 체이기 때문에 $0$ 이 아닌 모든 원소가 단원이고, 정리 [1]에 의해 $\left\{ 0 \right\}$ 외의 아이디얼은 $F$ 가 된다.

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