logo

직교 분해 정리 증명 📂힐베르트공간

직교 분해 정리 증명

정리1

(H,⟨⋅,⋅⟩)\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)를 힐베르트 공간이라 하자. 그러면 HH의 닫힌 부분공간 MM에 대해서

H=M⊕M⊥ H = M \oplus M^{\perp}

따름정리

(M⊥)⊥=M \left( M^{\perp} \right)^{\perp} = M

따름정리로써 (M⊥)⊥:={x∈H∣⟨x,m⊥⟩=0,m⊥∈M⊥}\left( M^{\perp} \right)^{\perp} := \left\{ \mathbf{x} \in H \mid \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0 , \mathbf{m}^{\perp} \in M^{\perp} \right\} 에 대해 위의 사실을 증명해낼 수 있다.

설명

M⊥:={x∈H∣⟨x,m⟩=0,m∈M}M^{\perp } := \left\{ \mathbf{x} \in H \mid \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{m} \right\rangle = 0 , \mathbf{m} \in M \right\} 을 MM 의 직교여집합이라고 한다. 직교성만큼이나 유용한 성질도 흔치 않다. 힐베르트 공간이 이를 보장한다는 것은 곧 힐베르트 공간이 좋은 공간이라는 말이 된다.

한편 증명과정에 최단 벡터 정리가 쓰이기 때문에 힐베르트 공간이 아닌 내적공간에 대해서는 성립하지 않는다.

증명

전략: 증명과정은 단순히 직합으로 나타날 조건을 보일 뿐이다.

x∈M\mathbf{x} \in M 이라고 하면 x=x+0\mathbf{x} = \mathbf{x} + \mathbb{0} 이므로 증명할 게 없다. 따라서 x∈H\mathbf{x} \in H이고 x∉M\mathbf{x} \notin M이라 하자. 그러면 M⪇HM \lneq H 이고, MM 이 닫힌 집합이므로 최단 벡터 정리를 사용할 수 있다.

최단 벡터 정리: HH를 힐베르트 공간이라고 하자. M⪇HM \lneq H 을 공집합이 아니고 닫힌 컨벡스 부분집합이라고 하자. 그러면 x∈(H∖M)\mathbf{x} \in ( H \setminus M) 에 대해

δ:=∥x−m0∥=inf⁡m∈M∥x−m∥>0 \delta := \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \| = \inf_{\mathbf{m} \in M} \| \mathbf{x} - \mathbf{m} \| > 0

을 만족하는 m0∈M\mathbf{m}_{0} \in M가 유일하게 존재한다.

어떤 m∈M\mathbf{m} \in M 에 대해 t:=⟨x−m0,m⟩∈Ct := \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0 } , \mathbf{m} \right\rangle \in \mathbb{C} 라고 두자.

  • Case 1. t=0t = 0

    ⟨x−m0,m⟩=t=0\left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0 } , \mathbf{m} \right\rangle = t = 0 이므로 (x−m0)∈M⊥( \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} ) \in M^{ \perp }

  • Case 2. t≠0t \ne 0

    모든 λ∈C\lambda \in \mathbb{C} 에 대해

    δ2≤∥x0−(m0−λm)∥2=⟨(x−m0)+λm,(x−m0)+λm⟩=∥x−m0∥2+λ‾⟨x−m0,m⟩+λ⟨m,x−m0⟩+∣λ∣2∥m∥2=∥x−m0∥2+λ‾⟨x−m0,m⟩+λ‾⟨x−m0,m⟩‾+∣λ∣2∥m∥2=∥x−m0∥2+λ‾t+λ‾t‾+∣λ∣2∥m∥2=δ2+2Re⁡(λ‾t)+∣λ∣2∥m∥2 \begin{align*} \delta^2 \le & \| \mathbf{x}_{0} - ( \mathbf{m}_{0} - \lambda \mathbf{m} ) \|^2 \\ =& \left\langle (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) + \lambda \mathbf{m} , (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) + \lambda \mathbf{m} \right\rangle \\ =& \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \|^2 + \overline{ \lambda } \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle + \lambda \left\langle \mathbf{m} , \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \right\rangle + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \\ =& \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \|^2 + \overline{ \lambda } \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle + \overline{ \overline{\lambda} \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle } + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \\ =& \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \|^2 + \overline{ \lambda } t + \overline{ \overline{\lambda} t } + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \\ =& \delta^2 + 2 \operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2 \end{align*}

    양변에서 δ2\delta^2 를 빼면

    0≤2Re⁡(λ‾t)+∣λ∣2∥m∥2 0 \le 2 \operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) + | \lambda |^2 \| \mathbf{m} \|^2

    을 얻는다. 여기서 Re⁡(λ‾t)\operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) 은 λ‾t\overline{ \lambda } t 의 실수부를 의미한다.

    • Case 2-1. ∥m∥=1\| \mathbf{m} \| = 1

      0≤2Re⁡(λ‾t)+∣λ∣2 0 \le 2 \operatorname{Re} ( \overline{ \lambda } t ) + | \lambda |^2

      위 부등식은 모든 λ∈C\lambda \in \mathbb{C} 에 대해 성립하므로 λ=−t\lambda = -t 라고 하면

      0≤2Re⁡(−t‾⋅t)+∣t∣2=−2∣t∣2+∣t∣2=−∣t∣2 0 \le 2 \operatorname{Re} ( \overline{ -t } \cdot t ) + | t |^2 = - 2 | t |^2 + | t |^2 = -| t |^2

      즉 ∣t∣=0|t| = 0 이므로 t=0t = 0 이어야하는데, 이것은 Case 2. 의 가정에 모순이다.

    • Case 2-2. ∥m∥≠1\| \mathbf{m} \| \ne 1

      t=⟨x−m0,m⟩=∥m∥⟨x−m0,m∥m∥⟩=∥m∥⋅0=0 \begin{align*} t =& \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , \mathbf{m} \right\rangle \\ =& \| \mathbf{m} \| \left\langle \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} , {{\mathbf{m}} \over { \| \mathbf{m} \| }} \right\rangle \\ =& \| \mathbf{m} \| \cdot 0 \\ =& 0 \end{align*}

      즉 t=0t = 0 인데, 이것도 Case 2. 의 가정에 모순이다.

결국 어찌되든 Case 1. 에 의해 t=0t = 0 이어야만한다. 그 말은 최단 벡터 정리에 의해 존재성이 보장된 m0∈M\mathbf{m}_{0} \in M 에 대해 (x−m0)∈M⊥(\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) \in M^{\perp} 이라는 것이다. 따라서 어떤 x∈H\mathbf{x} \in H 든 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x=m0+(x−m0)∈M+M⊥ \mathbf{x} = \mathbf{m}_{0} + (\mathbf{x} - \mathbf{m}_{0}) \in M + M^{ \perp }

이제 유일성을 보이기 위해 m1,m2∈M\mathbf{m}_{1} , \mathbf{m}_{2} \in M, z1,z2∈M⊥z_{1} , z_{2} \in M^{\perp} 에 대해

x=m1+z1=m2+z2 \mathbf{x} = \mathbf{m}_{1} + z_{1} = \mathbf{m}_{2} + z_{2}

라고 두자. 그러면

m1−m2=z2−z1∈(M∩M⊥)={0} \mathbf{m}_{1} - \mathbf{m}_{2} = z_{2} - z_{1} \in \left( M \cap M^{\perp} \right) = \left\{ \mathbb{0} \right\}

다시 말해

m1−m2=0  ⟹  m1=m2  ⟹  z2=z1 \mathbf{m}_{1} - \mathbf{m}_{2} = \mathbb{0} \implies \mathbf{m}_{1} = \mathbf{m}_{2} \implies z_{2} = z_{1}

이고, x\mathbf{x} 를 나타내는 방법은 유일함을 알 수 있다.

■

따름정리

  • (⊂)( \subset )

    y∈(M⊥)⊥y \in \left( M^{\perp} \right)^{\perp} 이면 ⟨y,m⊥⟩=0\left\langle y , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0 이고, y=0y = \mathbb{0} 이거나 y∉M⊥y \notin M^{\perp} 이다. 그런데 직교 분해 정리에 의해 H=M⊕M⊥H = M \oplus M^{\perp} 이므로 반드시 y∈My \in M 이어야하고,

    (M⊥)⊥⊂M \left( M^{\perp} \right)^{\perp} \subset M

  • (⊃)( \supset )

    m∈M\mathbf{m} \in M 이면 ⟨m,m⊥⟩=0\left\langle \mathbf{m} , \mathbf{m}^{\perp} \right\rangle = 0 이고, m∈(M⊥)⊥\mathbf{m} \in \left( M^{\perp} \right)^{\perp} 이므로

    M⊂(M⊥)⊥ M \subset \left( M^{\perp} \right)^{\perp}

■

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p68-69 ↩︎