📂힐베르트공간

최단 벡터 정리 증명

정리¹

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$를 힐베르트 공간이라고 하자. $M \lneq H$ 을 공집합이 아니고 닫힌 컨벡스 부분집합이라고 하자. 그러면 $\mathbf{x} \in ( H \setminus M)$ 에 대해

$$\delta := \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \| = \inf_{\mathbf{m} \in M} \| \mathbf{x} - \mathbf{m} \| > 0$$

을 만족하는 $\mathbf{m}_{0} \in M$가 유일하게 존재한다.

설명

부분공간$M$ 이 컨벡스하다는 것은 모든 $\mathbf{x},y \in M$ 과 $\lambda \in [0,1]$ 에 대해 다음이 성립한다는 것이다.

$$\lambda \mathbf{x} + (1-\lambda) y \in M$$

별 거 없어보이지만 가만 생각해보면 당연한 것만도 아닌 게, 그냥 일반적인 위상공간이라면 $\mathbf{m}_{0}$ 이 유일할 이유가 없다.

간단하게 도식화해서 생각해보자면 위 그림에서 오른쪽의 부분공간 $M$ 이 꽤 단순하게 생겼기 때문에 이 정리가 성립하는 것이다.

한편 증명을 보면 알 수 있듯이, 힐베르트 공간이 아닌 내적공간에 대해서는 성립하지 않는다.

증명

• Part 1. $\delta >0$

  $\delta = 0$ 이라고 가정하면

  $$\lim_{k \to \infty } \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} \| = \delta = 0$$

  를 만족하는 수열 $\left\{ \mathbf{m}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 이 존재한다. 그 말인즉슨 $k \to \infty$ 일 때 $\mathbf{m}_{k} \to \mathbf{x} \in \overline{M} = M$ 인데, 이는 $\mathbf{x} \in ( H \setminus M)$ 에 모순이다.

• Part 2. 존재성

  평행사변형 등식에 의해

  $$\begin{align*} \| \mathbf{m}_{k} - \mathbf{m}_{j} \|^2 &= \| ( \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} ) - ( \mathbf{x} - \mathbf{m}_{j} ) \|^2 \\ =& 2 \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} \|^2 + 2 \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{j} \|^2 - \| ( \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} ) + ( \mathbf{x} - \mathbf{m}_{j} ) \|^2 \\ =& 2 \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} \|^2 + 2 \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{j} \|^2 - 4 \left\| \mathbf{x} - {{ \mathbf{m}_{k} + \mathbf{m}_{j} } \over {2}} \right\|^2 \\ \le & 2 \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} \|^2 + 2 \| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{j} \|^2 - 4 \delta^2 \end{align*}$$

  따라서 $k,j \to \infty$ 일 때

  $$\| \mathbf{m}_{k} - \mathbf{m}_{j} \|^2 \to 4 \delta^2 - 4 \delta^2$$

  $\left\{ \mathbf{m}_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 는 코시 수열이다. 그러면 $H$는 힐베르트 공간이므로 $\mathbf{m}_{k} \to \mathbf{m}_{0}$ 인 $\mathbf{m}_{0} \in H$ 가 존재한다.

  $$\mathbf{m}_{k} \to \mathbf{m}_{0} \in \overline{M} = M$$

  놈은 연속함수이므로

  $$\| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} \| = \left\| \mathbf{x} - \lim_{k \to \infty} \mathbf{m}_{k} \right\| = \lim_{k \to \infty} \left\| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{k} \right\| = \delta$$

• Part 3. 유일성

  $\| \mathbf{x} - \mathbf{m}_{0} ' \| = \delta$ 인 $\mathbf{m}_{0} ' \in M$ 가 존재한다고 가정해보면

  $$\| \mathbf{m}_{0} - \mathbf{m}_{0} ' \| \le 2 \| \mathbf{m}_{0} - \mathbf{m}_{k} \|^2 + 2 \| \mathbf{m}_{0}’ - \mathbf{m}_{j} \|^2 - 4 \delta^2 = 4 \delta^2 - 4 \delta^2 = 0$$

  따라서 $\mathbf{m}_{0} = \mathbf{m}_{0} '$ 이어야 한다.

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