벡터 공간의 리플렉시브
정의 1
$X$를 벡터공간, $X^{\ast \ast}$를 바이듀얼이라고 하자. $X^{\ast \ast} \approx X$면, $X$가 리플렉시브reflexive라고 한다.
설명
일반적으로 벡터 공간은 듀얼을 취할때마다 점점 그 크기가 더 커진다. 그런데 리플렉시브라는 말은 사실상 듀얼 스페이스가 계속해서 커지지 않는 공간이라고 보아도 좋다. 리플렉시브한 공간에는 다음의 예시가 있다.
- $1 < p < \infty$ 에 대해 ${\ell^{p}}^{\ast \ast} \approx \ell^{p}$
- $\dim X = n$ 이면 $X^{\ast \ast} \approx X$
- $H$ 가 힐베르트 공간이면 $H^{\ast \ast} \approx H$
$\ell^{p}$ 공간에 대한 증명을 소개한다.
증명
전략: 이 증명에서만 쓰이는 함수 $\operatorname{sign} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ 을 정의하자. $$ \operatorname{sign} ( \lambda ) := \begin{cases} \displaystyle {{| \lambda | } \over { \lambda }} &, \lambda \ne 0 \\ 1 &, \lambda = 0 \end{cases} $$ 정의에 따라 $\lambda \operatorname{sign} (\lambda) = | \lambda |$ 이다. 이는 널리 쓰이는 복소수의 부호 $\operatorname{sign}$의 정의와 조금 다른 것에 주의하라.
우선은 $\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ 에 대해 ${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$ 임을 보일 것이다. 사상 $\phi : {\ell^{p}}^{ \ast } \to \ell^{q}$ 를 $f \in {\ell^{p}}^{ \ast }$ 에 대해 $\phi (f) = \left( f(e_{1}) , f(e_{2}) , \dots \right)$ 이라고 정의하자. 여기서 $e_{j}$ 는 $j$ 번째 성분만 $1$ 이고 나머지는 $0$ 인 단위벡터 $e_{j}:=(\dots ,0, 1 , 0 , \dots )$ 를 의미한다.
이제 이 포함된 $\displaystyle y_{j} : = {{ \operatorname{sign} \left( f^q (e_{j} ) \right) f^{q-1} (e_{j} ) } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \in \mathbb{C}$ 을 정의하자. 모든 $\lambda \in \mathbb{C}$ 에 대해 $|\lambda| = 1$ 이므로
$$ \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = \sum_{j=1}^{n} |y_{j}|^{p} = \sum_{j=1}^{n} {{ 1 \cdot \left| f (e_{j} ) \right|^{(q-1)p} } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right) }} $$
$(q-1)p = q$ 이므로
$$ \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = 1 $$
$f \in \ell_{p}^{ \ast }$는 선형이므로
$$ \begin{align*} & f( y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} ) \\ =& y_{1} f( e_{1} ) + \dots + y_{n} f(e_{n}) \\ =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \operatorname{sign} \left( f^q (e_{1} ) \right) f^{q-1} (e_{1} ) f(e_{1}) + \dots +\operatorname{sign} \left( f^q (e_{n} ) \right) f^{q-1} (e_{n} ) f(e_{n}) \right) \\ =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \operatorname{sign} \left( f^q (e_{1} ) \right) f^{q} (e_{1} )+ \dots +\operatorname{sign} \left( f^q (e_{n} ) \right) f^{q} (e_{n} ) \right) \end{align*} $$
$$\lambda \operatorname{sign} (\lambda) = | \lambda |$$
$\operatorname{sign}$ 의 성질에 따라
$$ \begin{align*} f( y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} ) =& {{ 1 } \over { \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f (e_{j} ) \right|^{q} \right)^{{{1} \over {p}}} }} \left( \left| f (e_{1}) \right|^{q} + \dots + \left| f (e_{n}) \right|^{q} \right) \\ =& \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{1- {{1} \over {p}} } \\ =& \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \end{align*} $$
Part 1. $\displaystyle \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \|$
$f$ 는 유계이므로 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해
$$ \left| \left( \sum_{j=1}^{n} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \| \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_ {n} \|_{p} $$
$\displaystyle \| y_{1} e_{1} + \dots + y_{n} e_{n} \|_{p}^{p} = 1$ 이므로 정리하면
$$ \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \| $$
Part 2. $\phi$ 는 함수다.
위의 Part 1. 에서 $\displaystyle \left| \phi (f) \right| = \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \| < \infty$ 이므로 $\phi ( f ) \in \ell^{q}$
Part 3. $\phi$는 선형이다.
$f , g \in {\ell^{p}}^{ \ast }$ 와 $\lambda \in \mathbb{C}$ 에 대해
$$ \begin{align*} \phi ( \lambda f + g ) =& \left( ( \lambda f + g ) e_{1} , \dots \right) \\ =& \left( \lambda f (e_{1}) + g (e_{1}) , \dots \right) \\ =&\left( \lambda f (e_{1}) , \dots \right) + \left( g (e_{1}) , \dots \right) \\ =& \lambda \phi (f) + \phi (g) \end{align*} $$
Part 4. $\phi$는 단사다.
$f , g \in {\ell^{p}}^{ \ast }$ 에 대해 $\phi (f) = \phi (g)$ 이라고 하면 모든 $j \in \mathbb{N}$ 에 대해 $f(e_{j} ) = g( e_{j} )$ 이어야한다. $( x_{j} ) \in \ell^{q}$ 이라고 두면
$$ f \left( ( x_{j} ) \right) = f \left( \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \right) $$
$\phi$ 는 선형이므로 연속이고
$$ \begin{align*} f \left( \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \right) =& \lim_{n \to \infty} f \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} f (e_{1} ) + \dots + x_{n} f(e_{n}) \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} g (e_{1} ) + \dots + x_{n} g (e_{n}) \right) \\ =& \lim_{n \to \infty} g \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \\ =& g \left( \lim_{n \to \infty} \left( x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} \right) \right) \\ =& g \left( ( x_{j} ) \right) \end{align*} $$
정리하면
$$ \phi (f) = \phi (g) \implies f = g $$
Part 5. $\phi$ 는 전사다.
임의의 $( \lambda_{j} ) \in \ell^{q}$ 에 대해 $\phi ( f_{0} ) = ( \lambda_{j} )$ 를 만족하는 $f_{0} \in {\ell^{p}}^{ \ast }$ 가 존재함을 보이면 된다.함수 $f_{0} : \ell^{p} \to \mathbb{C}$ 를 $\displaystyle f_{0} \left( (x_{j} ) \right) : = \sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \lambda_{j}$ 과 같이 정의하자. 그러면 $( x_{j} ) , ( y_{j} ) \in \ell^{p}$ 에 대해
$$ \begin{align*} f_{0} \left( \lambda ( x_{j} ) + ( y_{j} ) \right) =& f_{0} \left( ( \lambda x_{j} + y_{j} ) \right) \\ =& \sum_{j=1}^{\infty} ( \lambda x_{j} + y_{j} ) \lambda_{j} \\ =& \lambda \sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \lambda_{j} + \sum_{j=1}^{\infty} y_{j} \lambda_{j} \\ =& \lambda f \left( (x_{j} ) \right) + f \left( (y_{j} ) \right) \end{align*} $$
이므로 $f_{0}$ 는 선형이다. 또한 횔더 부등식에 의해
$$ \| f_{0} \| = \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left| \sum_{j=1}^{\infty} x_{j} \lambda_{j} \right| \le \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left( \sum_{j=1}^{\infty} | x_{j} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{j=1}^{\infty} | \lambda_{j} |^{q} \right)^{{1} \over {q}} < \infty $$
이므로 $f_{0}$ 는 유계고, 정리하면 $f_{0} \in {\ell^{p}}^{ \ast }$ 이다. 이 $f_{0}$ 는
$$ \phi (f_{0} ) = \left( f_{0} (e_{1}) , f_{0} (e_{2}) , \dots \right) = \left( \sum_{j=1}^{\infty} e_{1} \lambda_{j} , \sum_{j=1}^{\infty} e_{2} \lambda_{j} , \dots \right) = (\lambda_{1} , \lambda_{2} , \dots ) = (\lambda_{j}) $$
를 만족시킨다.
Part 6. $\phi$ 는 놈을 보존한다.
$\| \phi (f) \|_{q} = \| f \|$임을 보이면 된다.
$$ \begin{align*} \| f \| =& \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left| f((x_{j} )) \right| \\ =& \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left| \sum_{j=1}^{\infty} (x_{j} ) f(e_{j} ) \right| \\ \le & \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \sum_{j=1}^{\infty} | (x_{j} ) | | f(e_{j} ) | \le \sup_{ \| (x_{j}) \|_{p } = 1 } \left( \sum_{j=1}^{\infty} | x_{j} |^{p} \right)^{{1} \over {p}} \left( \sum_{j=1}^{\infty} | f ( e_{j} ) |^{q} \right)^{{1} \over {q}} \\ =& \left( \sum_{j=1}^{\infty} | f ( e_{j} ) |^{q} \right)^{{1} \over {q}} \\ =& \| \phi (f) \|_{q} \end{align*} $$
그런데 Part 1. 에서 $\displaystyle \left| \left( \sum_{j=1}^{\infty} \left| f(e_{j} ) \right|^{q} \right)^{ {{1} \over {q}} } \right| \le \| f \|$ 이었으므로
$$ \| f \| \le \| \phi (f) \|_{q} \le \| f \| $$
정리하면
$$ \| \phi (f) \|_{q} = \| f \| $$
위의 Part 2. 부터 Part 6. 까지를 정리하면 $\phi$ 는 아이소메트리임을 알 수 있다. 즉 $\displaystyle {{1} \over {p}} + {{1} \over {q}} = 1$ 에 대해 ${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$ 임을 보였다.
Part 7.
${\ell^{p}}^{ \ast } \approx \ell^{q}$ 이라고 하면 ${\ell^{p}}^{\ast \ast} \approx {\ell^{q}}^{ \ast }$ 이다. 아이소메트리는 동치관계고, 동치관계의 추이성에 의해$$ \ell_{p}^{\ast \ast} \approx \ell_{p} $$
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Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p107. ↩︎