📂동역학

트랜스크리티컬 바이퍼케이션

정의 ^{1 2}

트랜스크리티컬 바이퍼케이션^{transcritical bifurcation}은 동역학계의 파라미터 변화에 따라 두 고정점이 안정성을 교환하는 바이퍼케이션이다.

노멀 폼

트랜스크리티컬 바이퍼케이션은 다음의 노멀 폼을 가진다: $$ \dot{x} = rx - x^{2} $$

다이어그램

트랜스크리티컬 바이퍼케이션의 바이퍼케이션 다이어그램은 다음과 같다:

설명

트랜스크리티컬 바이퍼케이션의 노멀폼은 $r$ 과 상관 없이 두 개의 고정점 $x_{1} = 0$ 과 $x_{2} = r$ 을 가진다. 두 고정점이 안정성을 교환한다는 것은 말 그대로 $r = 0$ 을 임계점으로 두 고정점 $x_{1} = 0$ 과 $x_{2} = r$ 의 안정성이 반전된다는 것이다.

• $r < 0$: $x_{1} = 0$ 은 안정적이고 $x_{2} = r$ 은 불안정적이다.
• $r = 0$: 두 고정점이 하나로 합쳐지고 새들 노드가 된다. $\dot{x} = -x^{2}$ 는 $x$ 가 무엇이든 항상 음수기 때문에 $x > 0$ 에선 $x_{1} = 0$ 으로 수렴하고 $x < 0$ 에선 $x_{1} = 0$ 에서 음의 방향으로 발산한다.
• $r > 0$: $x_{1} = 0$ 은 불안정적이고 $x_{2} = r$ 은 안정적이다.